Variável aleatória Binomial e Poisson e suas propriedades
A variável aleatória que lida com o resultado de sucesso e falha do experimento aleatório para n repetições era conhecida como variável aleatória binomial a definição de sua função de massa de probabilidade lida com a probabilidade de sucesso p e probabilidade de falha q apenas, a definição com exemplos já vimos, agora com o entendimento vemos algumas das propriedades de tal variável aleatória discreta,
Expectativa e Variância da variável aleatória binomial
A expectativa e a variância da variável aleatória binomial com n repetição e p como probabilidade de sucesso são
E [X] = np
e Var (X) = np (1-p)
agora considere para mostrar a estes dois a expectativa da variável aleatória de potência k seguindo a definição de função de massa de probabilidade para variável aleatória binomial como,
onde Y é outra variável aleatória binomial com n-1 tentativas e p como a probabilidade de sucesso, se tomarmos o valor de k = 1, então obteremos
E [X] = np
e se substituirmos k = 2, obteremos
EX2] = npE [Y + 1]
= np [(n-1) p + 1]
então vamos conseguir facilmente
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= np [(n-1) p + 1] - (np)2
= np (1-p)
Exemplo: Para uma moeda imparcial, faça o experimento de lançar 100 vezes e, para o número de caudas que aparecem nesse caso, encontre a média, a variância e o desvio padrão desse experimento.
A cauda para um lançamento tem a probabilidade de sucesso p = 1/2 = 0.5
então a média desse experimento é
E [X] = np
uma vez que o experimento é binomial, pois apenas sucesso ou fracasso obteremos para n número de repetições
então, μ = np
μ = 100x (0.5) = 50
Da mesma forma, a variância e o desvio padrão serão
Var (X) = np (1-p)
σ2= np(1-p)
O valor seria
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
Exemplo: Encontre a média e o desvio padrão para a probabilidade de 0.1 defeito na empresa de fabricação de parafusos do lote de 400 parafusos.
aqui n=400, p=0.1, média= np=400×0.1=40
desde
σ2= np(1-p)
então o desvio padrão será
Exemplo: Encontre o probabilidade de exatamente, menor que e pelo menos 2 sucessos se a média e o desvio padrão para a variável aleatória binomial forem 4 e 2, respectivamente.
Já que média = np = 4
e variância = np(1-p) = 2,
então 4(1-p)=2
(1-p) = 1/2
p = 1- (1/2)
Colocando este valor em média, nós obtemos
np = 4
n (1/2) = 4
n = 8
probabilidade de exatamente 2 sucessos será
probabilidade de menos de 2 sucessos será
p (X <2)
= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256
Probabilidade de pelo menos 2 sucessos
p (X> 2) = 1- p (X <2)
= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256
Variável Aleatória de Poisson
A variável aleatória discreta X que assume os valores 0,1,2 …… .. é conhecida por ser a variável aleatória de Poisson fornecida para qualquer λ> 0 sua função de massa de probabilidade deve ser
or
as
Quando n é muito grande e a probabilidade de sucesso p é muito pequena, nesse caso, a variável aleatória de Poisson com sua função de massa de probabilidade tornou-se a aproximação da variável aleatória binomial com o respectivo pmf porque a expectativa neste caso que é np será moderada e isso seria seja λ = np .
Exemplo: Encontre a probabilidade de que haja pelo menos um erro de digitação em cada página do livro que tenha distribuição de Poisson com média 1/2 para uma única página.
Deixe a variável aleatória discreta X denotar os erros na página. então a variável aleatória de Poisson tem a função de massa de probabilidade como
λ = 1/2
Exemplo: Encontre a probabilidade de que a amostra de 10 itens produzidos por uma máquina com 0.1 chances de produção com defeito tenha no máximo um item com defeito.
Isso nós podemos resolver tanto pela função de massa de probabilidade binomial quanto pela função de massa de probabilidade de Poisson, então resolvemos isso por Poisson
Expectativa e variância da variável aleatória de Poisson
A expectativa e a variância da variável aleatória de Poisson com n repetição ep como probabilidade de sucesso são
E [X] = np = λ
e
Var (X) = np = λ
Antes de mostrar o resultado, devemos ter em mente que a variável aleatória de Poisson nada mais é do que a aproximação da variável aleatória binomial, então np = λ agora a expectativa usando a função de massa de probabilidade será
Isso significa que o valor matemático esperado da variável aleatória de Poisson é igual ao seu parâmetro, da mesma forma, para calcular a variância e o desvio padrão da variável aleatória de Poisson, exigimos a expectativa do quadrado de X, portanto,
O somatório acima é óbvio, pois duas das somas são a expectativa e a soma das probabilidades.
Assim, o valor da variância que obteremos é
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= λ
portanto, no caso da variável aleatória de Poisson, a média e a variância têm o mesmo valor, ou seja, np como parâmetro.
A Variável aleatória de Poisson é a aproximação boa para a descoberta de diversos processos, por exemplo, encontrar a ocorrência do número de terremotos dentro de algum período de tempo específico, encontrar o número de elétrons durante um tempo fixo do cátodo aquecido, encontrar o possível número de mortes durante o tempo especificado, ou número de guerras em um ano específico etc.
Exemplo : Calcule a probabilidade de que o número total de passageiros em dois dias seja menor que 2. Se o número de chegadas de passageiros com média 5 segue a variável aleatória de Poisson. média = np = 5
Se considerarmos o número de passageiros em dois dias inferior a 2, seria
| Primeiro dia | Segundo dia | No total |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
então a probabilidade será combinação destes dois dias como
=e-10[1+5+5]
=11e-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
Exemplo: Calcule a probabilidade de 4 ou mais condensadores defeituosos de um pacote de 100 condensadores, desde que o defeito de fabricação dos condensadores seja de 1%.
Aqui p = 1% = 0.01 e n = 100 * 0.01 = 1
então podemos usar a função de massa de probabilidade de variáveis aleatórias de Poisson PMF
média = np = 100 * 0.01 = 1
então a probabilidade de 4 ou mais condensadores defeituosos será
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Exemplo: Se houver 0.002 chances de um produto apresentar defeito de fabricação, para uma embalagem contendo 10 desses produtos, qual seria a probabilidade de que tal pacote não tenha produtos com defeito, um com defeito e dois com defeito da remessa de 50000 pacotes do mesmo produto.
Aqui para uma probabilidade de defeito de um único pacote, ou seja, p=0.002, n=10
então a média np=0.002*10=0.020
vamos encontrar para cada caso como
Portanto, pela tabela, fica claro que o número de lâminas defeituosas nos pacotes zero, um e dois será 4900,980,10, respectivamente.
Conclusão:
Neste artigo, discutimos algumas propriedades de um dos Variável aleatória binomial, Variável aleatória de Poisson e experiência aleatória. Também mais uma variável aleatória discreta, ou seja, variável aleatória de Poisson, discutida com propriedades. A distribuição para o exemplo de função de massa de probabilidade, expectativa, variância e desvio padrão também considerada para melhor compreensão. Nos próximos artigos, tentamos cobrir algumas variáveis aleatórias mais discretas, se você quiser uma leitura mais aprofundada, então vá até Página de Matemática.
Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.