Conteúdo: Viga Cantilever
- Definição de Viga Cantilever
- Diagrama de corpo livre de viga cantilever
- Condições de limite de viga cantilever
- Determine o cisalhamento interno e o momento fletor na viga em balanço em função de x
- Determinação da força cortante e do momento fletor atuando a uma distância de 2 m da extremidade livre em uma viga cantilever com carga uniformemente distribuída (U.D.L.)
- A equação da curva de deflexão para uma viga cantilever com carregamento distribuído uniformemente
- Viga cantilever Rigidez e vibração
- Flexão de viga cantilever devido ao momento de flexão puro induzindo tensão de flexão
- Encontrando a tensão de flexão do cantilever induzida devido à carga uniformemente distribuída (UDL)
- Pergunta e resposta na viga cantilever
Definição de Viga Cantilever
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever
Uma viga cantilever é uma viga cuja extremidade é fixa e a outra é livre. O suporte fixo impede o deslocamento e o movimento de rotação da viga nessa extremidade. A viga cantilever permite o recurso de saliência sem qualquer suporte adicional. Quando a carga é aplicada na extremidade livre da viga, o cantilever transmite essa carga para o suporte onde aplica a força cortante [V] e o momento fletor [BM] na extremidade fixa.
Diagrama de corpo livre de viga cantilever
Considere uma viga cantilever com carga pontual atuando na extremidade livre da viga.
O diagrama de corpo livre para a viga cantilever é desenhado abaixo:
Condições de limite de viga cantilever
As forças de reação e o momento em A podem ser calculados aplicando condições de equilíbrio de
\\soma F_y=0, \\soma F_x=0 ,\\soma M_A=0
Para equilíbrio horizontal
\\soma F_x=0
R_ {HA} = 0Para equilíbrio vertical
\\soma F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=WTomando o momento sobre A, o momento no sentido horário positivo e o momento no sentido anti-horário é considerado negativo
WL-M_A = 0
M_A = WL
Determine o cisalhamento interno e o momento fletor na viga em balanço em função de x
Considere a viga Cantilever com carregamento uniformemente distribuído mostrado na Figura abaixo.
A carga resultante atuando no Feixe devido ao UDL pode ser dada por
W = área de um retângulo
W = eu * w
W = wL
A carga pontual equivalente wL atuará no centro da viga. ou seja, em L / 2
O Diagrama de Corpo Livre do Feixe torna-se
O valor da reação em A pode ser calculado aplicando as condições de equilíbrio
\\soma F_y=0, \\soma F_x=0 ,\\soma M_A=0
Para equilíbrio horizontal
\\soma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Para equilíbrio vertical
\\soma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wLTomando o momento sobre A, o momento no sentido horário positivo e o momento no sentido anti-horário é considerado negativo
wL*\\frac{L}{2}-M_A=0 \\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}Seja XX a seção de interesse a uma distância de x de uma extremidade livre
De acordo com a convenção de sinais discutida anteriormente, se começarmos a calcular a força de cisalhamento a partir do Lado esquerdo ou extremidade esquerda do feixe, Força de ação ascendente é tomado como Positivo, e Força de ação descendente é tomado como Negativo.
Força de cisalhamento em A é
S.F_A = R_ {VA} = wLna região XX é
SF_x=R_{VA}-w[Lx]
\\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxForça de cisalhamento em B é
SF=R_{VA}-wL
\\\\S.F_B=wL-wL=0Os valores da força de cisalhamento em A e B indicam que a força de cisalhamento varia linearmente da extremidade fixa para a extremidade livre.
Para BMD, se começarmos a calcular o momento de flexão do Lado esquerdo ou extremidade esquerda do feixe, Momento Horário é tomado como Positivo e Momento anti-horário é tomado como Negativo.
BM em A
B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}BM em X
B.M_x=M_A-w[Lx] \\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(Lx)^2}{2}
\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})BM em B
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}
\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0
Determinação da força cortante e do momento fletor atuando a uma distância de 2 m da extremidade livre em uma viga cantilever com carga uniformemente distribuída (U.D.L.)
Considere a viga cantilever com carregamento uniformemente distribuído mostrado na figura abaixo. w = 20 N/m apenas. L = 10 m, x = 2 m
A carga resultante atuando no Feixe devido ao UDL pode ser dada por
W = área de um retângulo
W = 20 * 10
W = 200 N
A carga pontual equivalente wL atuará no centro da viga. ou seja, em L / 2
O Diagrama de Corpo Livre do Feixe torna-se,
O valor da reação em A pode ser calculado aplicando as condições de equilíbrio
\\soma F_y=0, \\soma F_x=0 ,\\soma M_A=0
Para equilíbrio horizontal
\\soma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Para equilíbrio vertical
\\soma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 NTomando o momento sobre A, o momento no sentido horário positivo e o momento no sentido anti-horário é considerado negativo
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mSeja XX a seção de interesse a uma distância de x de uma extremidade livre
De acordo com a convenção de sinais discutida anteriormente, se começarmos a calcular a força de cisalhamento a partir do Lado esquerdo ou extremidade esquerda do feixe, Força de ação ascendente é tomado como Positivo, e Força de ação descendente é tomado como Negativo.
Força de cisalhamento em A é
SF_A=R_{VA}=wL
\\\\S.F_A=200 Nna região XX é
SF_x=R_{VA}-w[Lx]
\\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxpara x = 2 m
\\\\S.F_x=wx=20*2=40\\;N
Força de cisalhamento em B é
SF=R_{VA}-wL
\\\\S.F_B=wL-wL=0Os valores da força de cisalhamento em A e B indicam que a força de cisalhamento varia linearmente da extremidade fixa para a extremidade livre.
Para BMD, se começarmos a calcular o momento de flexão do Lado esquerdo ou extremidade esquerda do feixe, Momento Horário é tomado como Positivo e Momento anti-horário é tomado como Negativo.
BM em A
B.M_A = M_A
B.M_A=1000\\;Nm
BM em X
B.M_x = M_A-w [Lx]
\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.mBM em B
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0
A equação da curva de deflexão para uma viga cantilever com carregamento distribuído uniformemente
Considere a viga Cantilever de comprimento L mostrada na Figura abaixo com carga uniformemente distribuída. Vamos derivar a equação para inclinação e deflexão para este feixe usando o método de integração dupla.
O momento fletor atuando na distância x da extremidade esquerda pode ser obtido como:
M=-wx* \frac{x}{2}Usando a equação diferencial da curva,
\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}Integrando assim que conseguirmos,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]Integrando a equação [1], obtemos,
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]As constantes de integrações podem ser obtidas usando as condições de contorno,
Em x = L, dy / dx = 0; já que o suporte em A resiste a movimentos. Assim, da equação [1], obtemos,
C_1=\frac{wL^3}{6}Em x = L, y = 0, Sem deflexão no suporte ou extremidade fixa A Assim, da equação [2], obtemos,
0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2C_2= \frac{-wL^4}{8}Substituindo o valor da constante em [1] e [2], obtemos novos conjuntos de equações como
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]Avalie a inclinação em x = 12 m e a deflexão máxima a partir dos dados fornecidos: Eu = 722 centímetros4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm
Das equações acima: em x = 12 m,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radianosDa equação [4]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}y=-0.064 \\;m
Viga cantilever Rigidez e vibração
A rigidez pode ser definida como a resistência à flexão ou deformação ao momento fletor. A relação entre a carga máxima aplicada e a deflexão máxima de uma viga pode ser chamada de rigidez da viga.
Para uma viga cantilever com uma Força W na extremidade livre, a deflexão máxima é dada por
δ=\frac{WL^3}{3EI}Onde W = carga aplicada, L = comprimento da viga, E = Módulo de Young, I = o segundo Momento de Inércia
A rigidez é dada por,
k=W/δ \\\\k=W/\\frac{WL^3}{3EI}
\\\\k=\\frac{3EI}{L^3} A frequência natural pode ser definida como a frequência na qual um sistema tende a vibrar na ausência de qualquer força motriz ou de resistência.
ω_n=\\sqrt{k/m} \\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }
Onde m = massa da viga.
Flexão de viga cantilever devido à tensão de flexão induzindo momento de flexão pura
Quando um membro está sujeito a pares iguais e opostos no plano do membro, isso é definido como flexão pura. Na flexão pura, a força de cisalhamento atuando na viga é zero.
Premissas: o material é homogêneo
A Lei de Hook é aplicável
Membro é prismático
Um par é aplicado no plano do membro
Nenhuma empenamento da seção transversal da viga ocorre após a flexão
O perfil de deformação deve ser linear do eixo neutro
A distribuição de tensões é linear desde o eixo neutro até as fibras superior e inferior da viga.
A Equação de Euler-Bernoulli para o momento de flexão é dada por
\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}M = momento fletor aplicado sobre a seção transversal da viga.
I = momento de inércia da segunda área
σ = Tensão de flexão induzida na barra
y = Distância vertical entre o eixo neutro da viga e a fibra ou elemento desejado em mm
E = Módulo de Young em MPa
R = Raio de Curvatura em mm
Tensão de flexão para viga cantilever com diâmetro d, e a carga aplicada W pode ser dada como,
A tensão de flexão estará agindo no suporte fixo da viga
O momento aplicado M = WL
Momento de inércia da segunda área
Eu=\\frac{\\pi}{64}d^4A distância vertical entre o eixo neutro da viga e a fibra ou elemento desejado
y = d / 2
A tensão de flexão é dada como
σ=\\frac{Meu}{I}
\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}Encontrando a tensão de flexão atuando na viga cantilever com carga uniformemente distribuída (U.D.L.)
Considere uma viga Cantilever com carregamento uniformemente distribuído mostrado na Figura abaixo Eu = 722 centímetros4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm
As forças de reação e o momento em A podem ser calculados aplicando condições de equilíbrio de
\\soma F_y=0, \\soma F_x=0 ,\\soma M_A=0
Para equilíbrio horizontal
\\soma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Para equilíbrio vertical
\\soma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 NTomando o momento sobre A, o momento no sentido horário positivo e o momento no sentido anti-horário é considerado negativo
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mTensão de flexão
σ=\\frac{Meu}{I}
σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ=3.238\\;MPa
Pergunta e resposta na viga cantilever
Q.1 Como é chamada a relação entre a carga máxima aplicada e a deflexão máxima de uma viga?
Resp: A rigidez pode ser definida como a resistência à deflexão por flexão ou deformação ao momento fletor. A relação entre a carga máxima aplicada e a deflexão máxima de uma viga pode ser chamada de rigidez da viga.
Q.2 Definir uma viga cantilever?
Resposta: Uma viga cantilever é uma viga cuja extremidade é fixa e a outra é livre. O suporte fixo impede o deslocamento e o movimento de rotação da viga nessa extremidade. A viga cantilever permite o recurso de saliência sem qualquer suporte adicional. Quando a carga é aplicada na extremidade livre da viga, o cantilever transmite essa carga para o suporte onde aplica a força cortante [V] e o momento fletor [BM] em direção à extremidade fixa.
Q.3 Uma viga cantilever está sujeita a uma carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento da viga. Qual será a forma do diagrama de força cortante e momento fletor?
Resp: Para uma viga em balanço submetida a uma carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento da viga, a forma do diagrama de força cortante será uma curva linear e Diagrama de momento fletor será uma curva parabólica.
Q.4 Um cantilever está sujeito a cargas uniformemente variáveis ao longo do comprimento da viga, começando em zero a partir de uma extremidade livre, qual será a forma do diagrama de força de cisalhamento e momento de flexão?
Resp: Para uma viga cantilever sujeita a uma carga que varia uniformemente ao longo do comprimento da viga, a forma do diagrama de força de cisalhamento será curva parabólica e o diagrama de momento de flexão será uma curva cúbica ou de terceiro grau.
Q.5 Onde a tensão e a compressão atuam na flexão de vigas cantilever?
Resp: Para uma viga em balanço de um determinado vão, a tensão máxima de flexão será na extremidade fixa da viga. Para carga líquida descendente, a tensão máxima de flexão de tração é aplicada no topo da seção transversal e Estresse compressivo atua na fibra inferior da viga.
Q.6 Um cantilever está sujeito a um momento (M) ao longo do comprimento da viga, qual será a força de cisalhamento e o momento de flexão?
Resposta: Para uma viga cantilever sujeita ao momento M ao longo do comprimento da viga, a força de cisalhamento será zero, uma vez que nenhuma força de flexão externa estará agindo na viga e o momento de flexão permanecerá constante em todo o comprimento da viga.
Para saber sobre a resistência do material (clique aqui)e diagrama de momento de flexão Clique aqui
Sou Hakimuddin Bawangaonwala, engenheiro de projeto mecânico com experiência em projeto e desenvolvimento mecânico. Concluí M. Tech em Engenharia de Design e tenho 2.5 anos de experiência em pesquisa. Até agora foram publicados dois artigos de pesquisa sobre torneamento duro e análise de elementos finitos de acessórios de tratamento térmico. Minha área de interesse é projeto de máquinas, resistência de materiais, transferência de calor, engenharia térmica, etc. Proficiente em software CATIA e ANSYS para CAD e CAE. Além de Pesquisa.