Na teoria da probabilidade, o Desigualdade de Chebyshev & o teorema do limite central lidam com as situações em que queremos encontrar a distribuição de probabilidade da soma de um grande número de variáveis aleatórias em condição aproximadamente normal. Antes de olhar os teoremas do limite, vemos algumas das desigualdades, que fornecem os limites para as probabilidades se o média e variância são conhecidas.
A desigualdade de Markov
A desigualdade de Markov para a variável aleatória X que assume apenas um valor positivo para um> 0 é
para provar isso para um> 0, considere
Como
agora, levando em consideração essa desigualdade, obtemos
a razão é
que dá a desigualdade de Markov para um> 0 como
Desigualdade de Chebyshev
Para o finito média e variância da variável aleatória X a desigualdade de Chebyshev para k>0 é
onde sigma e mu representam a variância e a média da variável aleatória, para provar isso usamos o A desigualdade de Markov como a variável aleatória não negativa
para o valor de a como um quadrado constante, portanto
esta equação é equivalente a
tão claramente
Exemplos de desigualdades de Markov e Chebyshev:
- Se a produção de um item específico for tomada como variável aleatória para a semana com média 50, encontre a probabilidade de produção superior a 75 em uma semana e qual seria a probabilidade se a produção de uma semana estiver entre 40 e 60 desde a variância para isso semana é 25?
Solução: Considere a variável aleatória X para a produção do item por uma semana e, em seguida, para encontrar a probabilidade de produção superior a 75, usaremos A desigualdade de Markov as
Agora, a probabilidade de produção entre 40 a 60 com variância 25 usaremos Desigualdade de Chebyshev as
so
isso mostra a probabilidade da semana, se a produção estiver entre 40 e 60, é 3/4.
2. Mostre que o desigualdade de Chebyshev que fornece o limite superior para a probabilidade não está particularmente mais próximo do valor real da probabilidade.
Alternativa?
Considere que a variável aleatória X é uniformemente distribuída com média 5 e variância 25/3 ao longo do intervalo (0,1), em seguida, pelo desigualdade de Chebyshev nós podemos escrever
mas a probabilidade real será
que está longe da probabilidade real da mesma forma, se tomarmos a variável aleatória X como normalmente distribuída com média e variância, então Desigualdade de Chebyshev será
mas a probabilidade real é
Lei Fraca dos Grandes Números
A lei fraca para a sequência de variáveis aleatórias será seguida pelo resultado que Desigualdade de Chebyshev pode ser usado como ferramenta para provas, por exemplo, para provar
se a variância é zero que são as únicas variáveis aleatórias com variâncias iguais a 0 são aquelas que são constantes com probabilidade 1 então Desigualdade de Chebyshev para n maior ou igual a 1
as
pela continuidade da probabilidade
o que prova o resultado.
para provar isso, assumimos que a variância também é finita para cada variável aleatória na sequência, então a expectativa e a variância
agora do Desigualdade de Chebyshev o limite superior da probabilidade como
que para n tendendo ao infinito será
Teorema do limite central
A Teorema do limite central é um dos resultados importantes na teoria da probabilidade, pois dá a distribuição para a soma de grandes números que é aproximadamente normal distribuição além do método para encontrar as probabilidades aproximadas para somas de variáveis aleatórias independentes teorema do limite central também mostra as frequências empíricas de tantas populações naturais exibem curvas normais médias em forma de sino. Antes de dar a explicação detalhada deste teorema, usamos o resultado
“Se a sequência de variáveis aleatórias Z1,Z2,…. têm a função de distribuição e a função de geração de momento como FZn e Mzn então
Teorema do limite central: Para a sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas X1,X2,……. cada um com a média μ e variância σ2 então a distribuição da soma
tende para o normal padrão enquanto n tende para o infinito para a serem valores reais
Prova: Para provar o resultado, considere a média como zero e a variância como um, ou seja μ = 0 & σ2= 1 e o função geradora de momento para Xi existe e tem valor finito, então a função geradora de momento para a variável aleatória Xi/ √n será
Então, a função geradora de momento para a soma ΣXi/ √n será
Agora vamos tomar L (t) = logM (t)
so
para mostrar a prova que mostramos primeiro
mostrando sua forma equivalente
desde
portanto, isso mostra o resultado para a média zero e variância 1, e este mesmo resultado segue para o caso geral também tomando
e para cada um temos
Exemplo do teorema do limite central
Para calcular a distância em ano-luz de uma estrela do laboratório de um astrônomo, ele está usando algumas técnicas de medição, mas por causa da mudança na atmosfera cada vez que a distância medida não é exata, mas com algum erro para encontrar a distância exata que ele planeja observe continuamente em uma sequência e a média dessas distâncias como a distância estimada, Se ele considerar os valores de medição distribuídos de forma idêntica e variável aleatória independente com média de variância 4 ano-luz, encontre o número de medição a fazer para obter o erro de 0.5 no valor estimado e real?
Solução: vamos considerar as medidas como as variáveis aleatórias independentes na sequência X1,X2, …… .Xn então pelo Teorema do limite central nós podemos escrever
que é a aproximação para o padrão distribuição normal então a probabilidade será
então, para obter a precisão da medição em 95 por cento, o astrônomo deve medir n * distâncias onde
então, a partir da tabela de distribuição normal, podemos escrever como
que diz que a medição deve ser feita por 62 número de vezes, isso também pode ser observado com a ajuda de Desigualdade de Chebyshev tomando
então a desigualdade resulta em
portanto, para n = 16 / 0.05 = 320, o que dá certeza de que haverá apenas 5% de erro na medição da distância da estrela ao laboratório de observações.
2. O número de alunos admitidos no curso de engenharia é Poisson distribuído com média 100, foi decidido que se os alunos admitidos forem 120 ou mais o ensino será em duas seções caso contrário em apenas uma seção, qual será a probabilidade de que haja Serão duas seções para o curso?
Solução: Seguindo a distribuição de Poisson, a solução exata será
que obviamente não dá o valor numérico particular, se considerarmos a variável aleatória X como os alunos admitidos então pelo Teorema do limite central
que pode ser
que é o valor numérico.
3. Calcule a probabilidade de que a soma dos dez dados quando rolados esteja entre 30 e 40, incluindo 30 e 40?
Solução: Aqui, considerando o dado como Xi para dez valores de i. a média e a variância serão
assim, seguindo o Teorema do limite central nós podemos escrever
qual é a probabilidade necessária.
4. Para as variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas Xi no intervalo (0,1) qual será a aproximação da probabilidade
Solução: A partir da distribuição Unifrom, sabemos que a média e a variância serão
Agora usando o Teorema do limite central nós podemos
assim, a soma da variável aleatória será de 14 por cento.
5. Encontrar a probabilidade de o avaliador do exame dar notas será de 25 exames no início de 450 min se houver 50 exames cujo tempo de avaliação é independente com média de 20 min e desvio padrão de 4 min.
Solução: considere o tempo necessário para avaliar o exame pela variável aleatória Xi então a variável aleatória X será
uma vez que esta tarefa para 25 exames está dentro de 450 minutos, então
aqui usando o Teorema do limite central
qual é a probabilidade necessária.
Teorema do Limite Central para variáveis aleatórias independentes
Para a sequência que não é distribuída de forma idêntica, mas com variáveis aleatórias independentes X1,X2, ……. cada um dos quais tendo a média μ e a variância σ2 desde que satisfaça
- cada Xi é uniformemente limitado
- soma das variâncias é infinita, então
Lei forte dos grandes números
A Lei Forte dos Grandes Números é um conceito muito crucial do teoria da probabilidade que diz que a média da sequência da variável aleatória comumente distribuída com probabilidade um irá convergir para a média dessa mesma distribuição
Declaração: Para a sequência de identicamente distribuído e variáveis aleatórias independentes X1,X2, ……. cada um dos quais tendo a média finita com probabilidade um, então
Prova: Para provar isso, considere que a média de cada variável aleatória é zero, e a série
agora, para isso, considere o poder disso como
depois de tomar a expansão dos termos do lado direito, temos os termos do formulário
uma vez que estes são independentes, então a média deles será
com a ajuda da combinação do par a expansão da série agora será
desde
so
obtemos
isso sugere a desigualdade
conseqüentemente
Pela convergência da série, uma vez que a probabilidade de cada variável aleatória é uma,
desde
se a média de cada variável aleatória não for igual a zero, então com desvio e probabilidade um, podemos escrevê-la como
or
qual é o resultado necessário.
Desigualdade Chebyshev Unilateral
A desigualdade de Chebysheve unilateral para a variável aleatória X com média zero e variância finita se a> 0 for
para provar isso, considere que b> 0 deixe a variável aleatória X como
que dá
então usando o A desigualdade de Markov
que dá a desigualdade necessária. para a média e variância, podemos escrever como
Isso ainda pode ser escrito como
Exemplo:
Encontre o limite superior da probabilidade de que a produção da empresa que é distribuída aleatoriamente seja de pelo menos 120, se a produção dessa determinada empresa tiver média 100 e variância 400.
Alternativa?
Usando o unilateral desigualdade chebyshev
então isso dá a probabilidade de a produção dentro de uma semana pelo menos 120 ser 1/2, agora o limite para esta probabilidade será obtido usando A desigualdade de Markov
que mostra o limite superior da probabilidade.
Exemplo:
Cem pares são tomados de duzentas pessoas com cem homens e cem mulheres encontram o limite superior da probabilidade de que no máximo trinta pares consistirão em homens e mulheres.
Alternativa?
Deixe a variável aleatória Xi as
então o par pode ser expresso como
Uma vez que todo homem pode ter a mesma probabilidade de formar par com outras pessoas nas quais cem são mulheres, então a média
da mesma forma, se i e j não forem iguais, então
as
portanto temos
usando o desigualdade chebyshev
que indica que a possibilidade de emparelhar 30 homens com mulheres é inferior a seis, portanto, podemos melhorar o limite usando desigualdade chebyshev unilateral
Limite de Chernoff
Se a função geradora de momento já é conhecida, então
as
da mesma forma, podemos escrever para t <0 como
Assim, o limite de Chernoff pode ser definido como
essa desigualdade representa todos os valores de t, sejam eles positivos ou negativos.
Limites de Chernoff para a variável aleatória normal padrão
Os limites de Chernoff para o padrão variável aleatória normal cuja função geradora de momento
is
então, minimizar essa desigualdade e os termos de poder do lado direito resulta em um> 0
e para um <0 é
Limites de Chernoff para a variável aleatória de Poisson
Os limites de Chernoff para a variável aleatória de Poisson cuja função geradora de momento
is
então, minimizar essa desigualdade e os termos de poder do lado direito resulta em um> 0
e seria
Exemplo em limites de Chernoff
Em um jogo, se um jogador tem a mesma probabilidade de ganhar ou perder o jogo, independentemente de qualquer pontuação anterior, encontre o chernoff vinculado à probabilidade
Solução: Deixe Xi denotar a vitória do jogador, então a probabilidade será
para a sequência de n jogos vamos
então a função geradora de momento será
aqui usando as expansões de termos exponenciais
então nós temos
agora aplicando a propriedade da função geradora de momento
Isso dá a desigualdade
conseqüentemente
Conclusão:
As desigualdades e o teorema de limite para os grandes números foram discutidos e os exemplos justificáveis para os limites das probabilidades também foram tomados para se ter um vislumbre da ideia. Também a ajuda de normal, variável aleatória de Poisson e função geradora de momento é usada para demonstrar o conceito facilmente, se você precisar de mais leituras, leia os livros abaixo ou para mais Artigo sobre Probabilidade, siga nosso Páginas de matemática.
Um primeiro curso de probabilidade por Sheldon Ross
Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum
Uma introdução à probabilidade e estatística por ROHATGI e SALEH
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
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