Distribuição condicional: 7 fatos interessantes para saber

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Distribuição condicional

   É muito interessante discutir o caso condicional de distribuição quando duas variáveis ​​aleatórias seguem a distribuição satisfazendo uma dada a outra, primeiro vemos brevemente a distribuição condicional em ambos os casos de variáveis ​​aleatórias, discretas e contínuas e depois de estudar alguns pré-requisitos nos concentramos no expectativas condicionais.

Distribuição condicional discreta

     Com a ajuda da função de massa de probabilidade conjunta na distribuição conjunta, definimos a distribuição condicional para as variáveis ​​aleatórias discretas X e Y usando a probabilidade condicional para X dado Y como a distribuição com a função de massa de probabilidade

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desde que a probabilidade do denominador seja maior do que zero, de forma semelhante, podemos escrever isso como

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na probabilidade conjunta, se X e Y forem variáveis ​​aleatórias independentes, então isso se tornará

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portanto, a distribuição condicional discreta ou distribuição condicional para as variáveis ​​aleatórias discretas X dado Y é a variável aleatória com a função de massa de probabilidade acima de maneira semelhante para Y dado X que podemos definir.

Exemplo de distribuição condicional discreta

  1. Encontre o função de massa de probabilidade da variável aleatória X dado Y=1, se a função de massa de probabilidade conjunta para as variáveis ​​aleatórias X e Y tiver alguns valores como

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Agora, em primeiro lugar, para o valor Y = 1, temos

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então, usando a definição da função de massa de probabilidade

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temos

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e

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  • obtenha a distribuição condicional de X dado X + Y = n, onde X e Y são distribuições de Poisson com os parâmetros λ1 e λ2 e X e Y são variáveis ​​aleatórias independentes

Uma vez que as variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes, então a distribuição condicional terá função de massa de probabilidade como

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uma vez que a soma da variável aleatória de Poisson é novamente poisson, então

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assim, a distribuição condicional com a função de massa de probabilidade acima será uma distribuição condicional para tais distribuições de Poisson. O caso acima pode ser generalizado para mais de duas variáveis ​​aleatórias.

Distribuição condicional contínua

   A distribuição condicional contínua da variável aleatória X dado y já definida é a distribuição contínua com a função de densidade de probabilidade

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a densidade do denominador é maior que zero, que para a função de densidade contínua é

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assim, a probabilidade para tal função de densidade condicional é

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Da mesma forma que em discreto, se X e Y são independentes em contínuo, então também

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e, portanto

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para que possamos escrever como

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Exemplo de distribuição condicional contínua

  1. Calcular a função de densidade condicional da variável aleatória X dado Y se a função de densidade de probabilidade conjunta com o intervalo aberto (0,1) for dada por
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Se para a variável aleatória X dado Y em (0,1), então, usando a função de densidade acima, temos

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  • Calcule a probabilidade condicional
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se a função de densidade de probabilidade conjunta é dada por

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Para encontrar a probabilidade condicional primeiro, precisamos da função de densidade condicional, então pela definição seria

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agora usando esta função de densidade na probabilidade de Probabilidade Condicional is

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Distribuição condicional de distribuição normal bivariada

  Sabemos que a distribuição normal bivariada das variáveis ​​aleatórias normais X e Y com as respectivas médias e variâncias como os parâmetros tem a função densidade de probabilidade conjunta

Distribuição condicional
Condicional distribuição de normal bivariada distribuição

então, para encontrar a distribuição condicional para tal distribuição normal bivariada para X dado Y é definida seguindo a função de densidade condicional da variável aleatória contínua e a função de densidade conjunta acima,

Distribuição condicional
Distribuição condicional de distribuição normal bivariada

Ao observar isso, podemos dizer que isso é normalmente distribuído com a média

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e variação

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da mesma forma, a função de densidade condicional para Y dado X já definido estará apenas trocando as posições dos parâmetros de X com Y,

A função de densidade marginal para X podemos obter da função de densidade condicional acima usando o valor da constante

Distribuição condicional
Distribuição condicional de distribuição normal bivariada

vamos substituir na integral

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a função de densidade será agora

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uma vez que o valor total de

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pela definição da probabilidade, então a função de densidade será agora

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que nada mais é do que a função de densidade da variável aleatória X com média e variância usuais como parâmetros.

Distribuição de probabilidade conjunta de função de variáveis ​​aleatórias

  Até agora sabemos a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis ​​aleatórias, agora se temos funções de tais variáveis ​​aleatórias, então qual seria a distribuição de probabilidade conjunta dessas funções, como calcular a função de densidade e distribuição porque temos situações da vida real em que têm funções das variáveis ​​aleatórias,

Se Y1 e Y2 são as funções das variáveis ​​aleatórias X1 e X2 respectivamente, que são conjuntamente contínuas, então a função de densidade conjunta contínua dessas duas funções será

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onde Jacobiano

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e Y1 =g1 (X1X2) e Y2 =g2 (X1X2) para algumas funções g1 e g2 . Aqui g1 e g2 satisfaz as condições do Jacobiano como contínua e tem derivadas parciais contínuas.

Agora, a probabilidade de tais funções de variáveis ​​aleatórias será

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Exemplos de distribuição de probabilidade conjunta de função de variáveis ​​aleatórias

  1. Encontre a função de densidade conjunta das variáveis ​​aleatórias Y1 =X1 +X2 e Y2=X1 -X2 , onde X1 e X2 são as funções conjuntamente contínuas com a função densidade de probabilidade conjunta. também discutir para a natureza diferente da distribuição.

Aqui vamos primeiro verificar Jacobian

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desde g1(x1, x2) = x1 +x2  e g2(x1, x2) = x1 - x2 so

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simplificando Y1 =X1 +X2 e Y2=X1 -X2 , para o valor de X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) e X2 = Y1 -Y2 ,

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se essas variáveis ​​aleatórias são variáveis ​​aleatórias uniformes independentes

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ou se essas variáveis ​​aleatórias são variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes com parâmetros usuais

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ou se essas variáveis ​​aleatórias são variáveis ​​aleatórias normais independentes, então

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  • Se X e Y são as variáveis ​​normais padrão independentes, conforme fornecido
Distribuição condicional

calcular a distribuição conjunta para as respectivas coordenadas polares.

Vamos converter pela conversão usual X e Y em r e θ como

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então as derivadas parciais dessas funções serão

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então o Jacobiano usando essas funções é

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se ambas as variáveis ​​aleatórias X e Y forem maiores do que zero, então a função de densidade conjunta condicional é

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agora a conversão de coordenadas cartesianas em coordenadas polares usando

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então a densidade de probabilidade função para os valores positivos será

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para o diferente combinações de X e Y as funções de densidade de maneiras semelhantes são

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agora, a partir da média das densidades acima, podemos afirmar a função de densidade como

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e a função de densidade marginal desta densidade conjunta de coordenadas polares ao longo do intervalo (0, 2π)

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  • Encontre a função de densidade conjunta para a função de variáveis ​​aleatórias

U = X + Y e V = X / (X + Y)

onde X e Y são os distribuição gama com os parâmetros (α + λ) e (β +λ) respectivamente.

Usando a definição de distribuição gama e função de distribuição conjunta a função de densidade para a variável aleatória X e Y será

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considere as funções fornecidas como

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

então a diferenciação dessas funções é

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agora o Jacobiano é

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depois de simplificar as equações dadas as variáveis ​​x = uv ey = u (1-v) a função de densidade de probabilidade é

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podemos usar a relação

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  • Calcule a função de densidade de probabilidade conjunta para

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3

onde as variáveis ​​aleatórias X1, X2, X3 são o padrão variáveis ​​aleatórias normais.

Agora vamos calcular o Jacobiano usando derivadas parciais de

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3

as

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simplificando para variáveis ​​X1 X2 e X3

X1 = (S1 + S2 + S3) / 3, X2 = (S1 - 2Y2 + S3) / 3, X3 = (S1 + S2 -2 anos3) / 3

podemos generalizar a função de densidade da junta como

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então nós temos

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para a variável normal, a função de densidade de probabilidade conjunta é

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conseqüentemente

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onde o índice está

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calcule a função de densidade conjunta de Y1 …… Sn e função de densidade marginal para Yn onde

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e Xi são variáveis ​​aleatórias exponenciais distribuídas de forma idêntica e independentes com o parâmetro λ.

para as variáveis ​​aleatórias do formulário

Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Sn =X1 + …… + Xn

o Jacobiano será da forma

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e, portanto, seu valor é um, e a função de densidade conjunta para a variável aleatória exponencial

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e os valores da variável Xi será

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então a função de densidade da junta é

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Agora, para encontrar a função de densidade marginal de Yn vamos integrar um por um como

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e

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Da mesma forma

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se continuarmos este processo, teremos

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que é a função de densidade marginal.

Conclusão:

A distribuição condicional para a variável aleatória discreta e contínua com diferentes exemplos considerando alguns dos tipos dessas variáveis ​​aleatórias discutidas, onde a variável aleatória independente desempenha um papel importante. Além disso, a articulação distribuição para a função de variáveis ​​aleatórias contínuas conjuntas também explicado com exemplos adequados, se você precisar de mais leitura, acesse os links abaixo.

Para mais postagens sobre matemática, consulte nosso Página de Matemática

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Um primeiro curso de probabilidade por Sheldon Ross

Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum

Uma introdução à probabilidade e estatística por ROHATGI e SALEH