Pois a variável aleatória dependente uma da outra requer o cálculo de probabilidades condicionais que já discutimos, agora iremos discutir mais alguns parâmetros para tais variáveis aleatórias ou experimentos como expectativa condicional e variância condicional para diferentes tipos de variáveis aleatórias.
Expectativa Condicional
A definição da função de massa de probabilidade condicional da variável aleatória discreta X dado Y é
aqui pY(y)>0 , então a condicional expectativa para a variável aleatória discreta X dado Y quando pY (y)>0 é
na expectativa acima probabilidade é a condicional probabilidade.
De maneira semelhante, se X e Y são contínuos, então a função de densidade de probabilidade condicional da variável aleatória X dado Y é
onde f (x, y) é a função de densidade de probabilidade conjunta e para todo yfY(y)> 0, então a expectativa condicional para a variável aleatória X dado y será
para todos vocêsY(y)> 0.
Como sabemos que todos os propriedades de probabilidade são aplicáveis a condicionais probabilidade mesmo é o caso da expectativa condicional, todas as propriedades da expectativa matemática são satisfeitas pela expectativa condicional, por exemplo, a expectativa condicional da função da variável aleatória será
e a soma das variáveis aleatórias na expectativa condicional será
Expectativa condicional para a soma das variáveis aleatórias binomiais
Para encontrar condicional expectativa da soma de variáveis aleatórias binomiais X e Y com parâmetros n e p que são independentes, sabemos que X+Y será também variável aleatória binomial com os parâmetros 2n e p, então para a variável aleatória X dado X+Y=m a esperança condicional será obtida calculando a probabilidade
já que sabemos disso
assim, a expectativa condicional de X dado X + Y = m é
Exemplo:
Encontre a expectativa condicional
se a articulação função de densidade de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas X e Y são dados como
solução:
Para calcular a expectativa condicional, exigimos função de densidade de probabilidade condicional, então
uma vez que para a variável aleatória contínua o condicional expectativa é
portanto, para a função de densidade dada, a expectativa condicional seria
Expectativa por condicionamento || Expectativa por expectativa condicional
Podemos calcular o expectativa matemática com a ajuda da esperança condicional de X dado Y como
para as variáveis aleatórias discretas, isso será
que pode ser obtido como
e para o aleatório contínuo, podemos mostrar de forma semelhante
Exemplo:
Uma pessoa está presa em seu prédio no subsolo porque a entrada está bloqueada devido a alguma carga pesada. Felizmente, há três dutos de onde ela pode sair, o primeiro cano leva-a com segurança para fora após 3 horas, o segundo após 5 horas e o terceiro duto depois 7 horas, se qualquer um desses oleodutos for escolhido igualmente por ele, então qual seria o tempo previsto para que ele saísse com segurança.
Alternativa?
Seja X a variável aleatória que denota o tempo em horas até que a pessoa saia com segurança e Y denota o cachimbo que ela escolhe inicialmente, então
desde
Se a pessoa escolher o segundo cachimbo, ela passa 5 horas nele, mas sai com o tempo previsto
então a expectativa será
Expectativa da soma do número aleatório de variáveis aleatórias usando a expectativa condicional
Seja N o número aleatório da variável aleatória e a soma das variáveis aleatórias é então a expectativa
desde
as
assim
Correlação de distribuição bivariada
Se a função de densidade de probabilidade da variável aleatória bivariada X e Y for
onde
então a correlação entre a variável aleatória X e Y para a distribuição bivariada com a função de densidade é
uma vez que a correlação é definida como
uma vez que a expectativa usando a expectativa condicional é
para a distribuição normal, a distribuição condicional X dado Y tem média
agora a expectativa de XY dado Y é
isto dá
conseqüentemente
Variância da distribuição geométrica
Na distribuição geométrica, vamos realizar tentativas sucessivamente independentes que resultam em sucesso com a probabilidade p, Se N representa o tempo do primeiro sucesso nessa sucessão, então a variância de N, por definição, será
Deixe a variável aleatória Y = 1 se a primeira tentativa resultar em sucesso e Y = 0 se a primeira tentativa resultar em fracasso, agora para encontrar a expectativa matemática aqui, aplicamos a expectativa condicional como
desde
se o sucesso for na primeira tentativa, então N = 1 e N2= 1 se ocorrer falha na primeira tentativa, então, para obter o primeiro sucesso, o número total de tentativas terá a mesma distribuição de 1, ou seja, a primeira tentativa que resulta em falha com mais o número necessário de tentativas adicionais, isto é
Assim, a expectativa será
uma vez que a expectativa de distribuição geométrica é so
conseqüentemente
e
E
então a variação da distribuição geométrica será
Expectativa de mínimo de sequência de variáveis aleatórias uniformes
A sequência de variáveis aleatórias uniformes U1, ELA É2 … .. no intervalo (0, 1) e N é definido como
então para a expectativa de N, para qualquer x ∈ [0, 1] o valor de N
vamos definir a expectativa de N como
para encontrar a expectativa, usamos a definição de expectativa condicional na variável aleatória contínua
agora condicionando para o primeiro termo da sequência temos
aqui nós pegamos
o número restante de variáveis aleatórias uniformes é o mesmo no ponto onde o primeiro valor uniforme é y, no início e então iríamos adicionar variáveis aleatórias uniformes até que sua soma ultrapassasse x - y.
então, usando este valor de expectativa, o valor da integral será
se diferenciarmos esta equação
e
agora integrando isso dá
conseqüentemente
o valor de k = 1 se x = 0, então
m
e m (1) = e, o número esperado de variáveis aleatórias uniformes ao longo do intervalo (0, 1) que precisam ser somadas até que sua soma ultrapasse 1, é igual a e
Probabilidade usando a expectativa condicional || probabilidades usando condicionamento
Podemos encontrar a probabilidade também usando a expectativa condicional como a expectativa que encontramos com a expectativa condicional, para obter isso, considere um evento e uma variável aleatória X como
a partir da definição desta variável aleatória e expectativa claramente
agora, pela expectativa condicional em qualquer sentido, temos
Exemplo:
calcular o função de massa de probabilidade da variável aleatória X , se U é a variável aleatória uniforme no intervalo (0,1), e considere a distribuição condicional de X dado U=p como binomial com os parâmetros nep.
Alternativa?
Para o valor de U, a probabilidade por condicionamento é
nós temos o resultado
então vamos conseguir
Exemplo:
qual é a probabilidade de X <Y, se X e Y são as variáveis aleatórias contínuas com funções de densidade de probabilidade fX e fY respectivamente.
Alternativa?
Usando a expectativa condicional e a probabilidade condicional
as
Exemplo:
Calcule a distribuição da soma das variáveis aleatórias independentes contínuas X e Y.
Alternativa?
Para encontrar a distribuição de X + Y, temos que encontrar a probabilidade da soma usando o condicionamento da seguinte forma
Conclusão:
A expectativa condicional para a variável aleatória discreta e contínua com diferentes exemplos, considerando alguns dos tipos dessas variáveis aleatórias discutidas usando a variável aleatória independente e a distribuição conjunta em diferentes condições. Também a expectativa e a probabilidade de como encontrar usando a expectativa condicional são explicadas com exemplos, se você precisar de mais leituras, leia os livros abaixo ou para mais artigos sobre probabilidade, siga nosso Páginas de matemática.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Um primeiro curso de probabilidade por Sheldon Ross
Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum
Uma introdução à probabilidade e estatística por ROHATGI e SALEH
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
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