Neste artigo, a variância condicional e as previsões usando a expectativa condicional para os diferentes tipos de variável aleatória com alguns exemplos que iremos discutir.
Variância Condicional
A variância condicional da variável aleatória X dado Y é definida de maneira semelhante à Expectativa condicional da variável aleatória X dado Y como
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|S]
aqui a variância é a expectativa condicional de diferença entre a variável aleatória e o quadrado da expectativa condicional de X dado Y quando o valor de Y é dado.
A relação entre o variância condicional e expectativa condicional is
(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]
= E[X2] – E[(E[X\Y])2]
já que E[E[X|Y]] = E[X], temos
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E [X])2
isso é de alguma forma semelhante à relação de variação incondicional e expectativa que era
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
e podemos encontrar a variância com a ajuda da variância condicional como
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
Exemplo de variância condicional
Encontre a média e a variância do número de viajantes que entram no ônibus se as pessoas que chegaram à garagem forem Poisson distribuídas com média λt e o ônibus inicial chegado à garagem for uniformemente distribuído no intervalo (0, T) independente das pessoas chegou ou não.
Alternativa?
Para encontrar a média e a variância para qualquer tempo t, Y é a variável aleatória para o tempo de chegada do barramento e N (t) é o número de chegadas
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
pela independência de Y e N (t)
=λt
uma vez que N (t) é Poisson com média \lambda t
Conseqüentemente
E[N(S)|S]=λY
então aceitar as expectativas dá
E[N(S)] = λE[S] = λT / 2
Para obter Var (N (Y)), usamos a fórmula de variância condicional
assim
(N(S)|S) = λY
E[N(S)|S] = λY
Portanto, a partir da fórmula de variância condicional,
Var(N(S)) = E[λS]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
onde usamos o fato de que Var (Y) = T2 / 12.
Variância de uma soma de um número aleatório de variáveis aleatórias
considere a sequência de elementos independentes e idênticos distribuído variáveis aleatórias X1,X2,X3,………. e outra variável aleatória N independente desta sequência, encontraremos variação da soma desta sequência como
utilização
o que é óbvio com a definição de variância e variância condicional para a variável aleatória individual para a soma da sequência de variáveis aleatórias, portanto
Predição
Na previsão, o valor de uma variável aleatória pode ser previsto com base na observação de outra variável aleatória, para a previsão da variável aleatória Y, se a variável aleatória observada for X, usamos g (X) como a função que informa o valor previsto, obviamente nós tente escolher g (X) perto de Y para este o melhor g é g (X) = E (Y | X) para isso devemos ter que minimizar o valor de g usando a desigualdade
Podemos obter essa desigualdade como
No entanto, dado X, E [Y | X] -g (X), sendo uma função de X, pode ser tratada como uma constante. Desse modo,
que dá a desigualdade necessária
Exemplos de previsão
1. Observa-se que a altura de uma pessoa é de um metro e oitenta, qual seria a previsão da altura de seus filhos depois de crescidos se a altura de seus filhos que agora passa de x polegadas está normalmente distribuída com média x + 1 e variância 4.
Solução: seja X a variável aleatória denotando a altura da pessoa e Y a variável aleatória para a altura do filho, então a variável aleatória Y é
Y = X + e + 1
aqui e representam a variável aleatória normal independente da variável aleatória X com média zero e variância quatro.
então a previsão para a altura dos filhos é
portanto, a altura do filho será de 73 polegadas após o crescimento.
2. Considere um exemplo de envio de sinais da localização A e localização B, se da localização A um valor de sinal s é enviado, que na localização B recebeu por distribuição normal com média se variância 1, enquanto se o sinal S enviado em A é normalmente distribuído com média \ mu e variância \ sigma ^ 2, como podemos prever que o valor do sinal R enviado da localização A será recebido é r na localização B?
Solução: Os valores de sinal S e R denotam aqui as variáveis aleatórias distribuídas normalmente, primeiro encontramos a função de densidade condicional S dada R como
este K é independente de S, agora
aqui também C1 e C2 são independentes em S, então o valor da função de densidade condicional é
C também é independente de s, portanto, o sinal enviado da localização A como R e recebido na localização B como r é normal com média e variância
e o erro quadrático médio para esta situação é
Preditor Linear
Cada vez que não podemos encontrar a função de densidade de probabilidade conjunta, mesmo a média, a variância e a correlação entre duas variáveis aleatórias são conhecidas, em tal situação o preditor linear de uma variável aleatória em relação a outra variável aleatória é muito útil, pois pode prever o mínimo , então, para o preditor linear da variável aleatória Y em relação à variável aleatória X, tomamos a e b para minimizar
Agora diferencie parcialmente em relação a aeb obteremos
resolvendo essas duas equações para a nd b, obteremos
assim, minimizar essa expectativa dá ao preditor linear como
onde as médias são as respectivas médias das variáveis aleatórias X e Y, o erro para o preditor linear será obtido com a expectativa de
Este erro será mais próximo de zero se a correlação for perfeitamente positiva ou perfeitamente negativa se o coeficiente de correlação for +1 ou -1.
Conclusão
A variância condicional para o discreto e variável aleatória contínua com diferentes exemplos foram discutidos, uma das importantes aplicações da expectativa condicional na previsão também é explicada com exemplos adequados e com o melhor preditor linear, se você precisar de mais leitura, acesse os links abaixo.
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Um primeiro curso de probabilidade por Sheldon Ross
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Uma introdução à probabilidade e estatística por ROHATGI e SALEH
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
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