Equação de Continuidade: 7 Conceitos Importantes

Lista de Conteúdo

• Equação de continuidade
• Forma diferencial da equação de continuidade
• Equação de continuidade para fluxo incompressível
• Equação de continuidade para fluxo coplanar bidimensional
• Exemplo de equação de continuidade
• Perguntas e Respostas
• MCQ
• Conclusão

Equação de continuidade

O fluido que flui através do tubo de fluxo é considerado o fluido ideal. Não há fluxo ocorrendo ao longo da linha do fluxo. Isso significa que o fluido entra por uma extremidade e sai pela outra, não há saída intermediária. Considere a condição de fluxo na seção transversal de entrada 1-1 conforme abaixo,

A massa de fluido que flui entre essas duas seções consideradas é dada pela seguinte fórmula,

dm = (AV? dt) - (A + dA) (V + dV) (? + d?) dt Eq ... 1

simplificando a equação acima, obtemos,

dm / dt = - (AV d? + V? dA + A? dV) Eq ... 2

Como sabemos que fluxo constante significa taxa de fluxo de massa constante, significa aqui dm / dt = 0. Agora a Eq. 2 girou como abaixo,

(AV d? + V? DA + A? DV) = 0 Eq ... 3

Agora, divida a Eq. 3 com? AV, a equação será como,

(d? /?) + (dA / A) + (dV / V) = 0 Eq ... 4

d (? AV) = 0 Eq ... 5

? AV = Equação constante ... 6

Aqui, a Eq. 6 nos faz saber que a massa de fluido que passa pelo tubo de fluxo é constante em cada seção.

Suponha que o fluido seja incompressível (líquido), então a densidade do fluido não mudará em nenhum ponto. Isso significa que a densidade do fluido é constante.

AV = Constante

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Eq ... 7

Eq. 7 representa a equação de continuidade para fluxo incompressível constante dentro do tubo de fluxo. A equação de continuidade fornece uma compreensão básica de área e velocidade. A mudança da área da seção transversal afeta a velocidade do fluxo dentro do tubo, cano, canal oco, etc. Aqui, o que é interessante é o produto da velocidade e da área da seção transversal. Este produto é constante em qualquer ponto do tubo do fluxo. A velocidade é inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo ou tubo de fluxo.

Forma diferencial da equação de continuidade

Para derivar a forma diferencial da equação de continuidade, considere um objeto como mostrado na figura. As dimensões são dx, dy e dz. Existem alguns pressupostos para esta formação. A massa de fluido não é criada ou destruída, nenhuma cavidade ou bolhas no fluido (fluxo contínuo). Consideramos dx na direção x, dy na direção y e dz nas direções z para facilitar a derivação.

Se u é a velocidade do fluxo de fluido conforme a face mostrada na figura. Supõe-se que a velocidade é uniforme em toda a área da seção transversal da face. A velocidade do fluido na superfície 1-2-3-4 é u. agora; a superfície 5-6-7-8 está a uma distância dx longe de 1-2-3-4. Portanto, a velocidade em 5-6-7-8 é dada como

u + ∂u / ∂x dx

Como sabemos, há mudança na densidade com o uso de fluido compressível. Se o fluido compressível passar por um objeto, a densidade mudará.

O fluxo de massa que entra no objeto é dado como

Fluxo de massa =? AV

Taxa de fluxo de massa =? AV dt

O fluido entrando em 1-2-3-4

Fluido de entrada = densidade (área * velocidade) dt

Fluido de entrada = ρ u dy dz dt

Eq ... 1

O fluido saindo de 5-6-7-8

Fluido de saída

fluido de saída= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Eq ... 2

Agora, a diferença entre o fluido de entrada e o fluido de saída é que a massa permaneceu na direção x fluxo.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Eq ... 3

Da mesma forma, consideramos que a massa de fluido na direção y e z é dada como abaixo,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Eq ... 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Eq ... 5

Aqui, vew são as velocidades do fluido nas direções y e z, respectivamente.

Para o fluxo de massa de fluido em todas as três direções, os eixos são dados pela adição da Eq. 3, 4 e 5. É dado como abaixo da massa total de fluido,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Eq ... 6

A taxa de variação da massa dentro do objeto é dada por,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × volume) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Eq ... 7

De acordo com o entendimento da conservação de massa, Eq. 6 igual à Eq. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Resolvendo a equação acima e simplificando-a, obtemos,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Eq ... 8

Eq. 8 é. Equação de continuidade para fluxo geral. Pode ser estável ou instável, compressível ou incompressível.

Equação de continuidade para fluxo incompressível

Se considerarmos o fluxo é constante e incompressível. Sabemos que no caso de fluxo constante ?? /? T = 0. Se o fluxo for incompressível, então a densidade? permanece constante. Portanto, ao considerar essa condição, a Eq. 8 pode ser escrito como,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Equação de continuidade para fluxo coplanar bidimensional

No fluxo bidimensional, existem duas direções x e y. Então, u velocidade na direção x e v velocidade na direção y. Não há direção z, então a velocidade na direção z é zero. Ao considerar essas condições, a Eq. 8 girado como abaixo,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Fluxo compressível

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Fluxo incompressível, densidade é zero

Exemplo de equação de continuidade

Existe fluxo de ar através do tubo a uma taxa de 0.25 kg / s a ​​uma pressão absoluta de 2.25 bar e temperatura de 300 K. Se a velocidade do fluxo for 7.5 m / s, então qual será o diâmetro mínimo do tubo?

Dados,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300K,

V = 7.5 m / s,

Calcule a densidade do ar,

P =? RT

? = P/RT

? = (2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Taxa de fluxo de massa de ar,

m =? AV

A = m /? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Como conhecemos essa área,

A = πD² / 4

D = √ ((A * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) / 3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Um jato de água na direção ascendente deixa a ponta do bico na velocidade de 15 m / s. O diâmetro do bico é de 20 mm. suponha que não haja perda de energia durante a operação. Qual será o diâmetro do jato de água 5 m acima da ponta do bico.

Resp.

Em primeiro lugar, imagine o sistema; o fluxo é na direção vertical.

Dados,

V1 = velocidade do jato na ponta do bico

V2 = velocidade do jato a 5 m acima da ponta do bico

Da mesma forma, as áreas A1 e A2.

Temos a equação geral de movimento abaixo,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Agora, aplique a equação de continuidade,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Diâmetro = 0.023 m = 23 mm

Perguntas & Respostas

Qual é a diferença entre a equação de continuidade e a equação de Navier Stokes?

Os fluidos, por definição, podem fluir, mas são fundamentalmente incompressíveis na natureza. O equação de continuidade é uma consequência do fato de que o que entra em um tubo / mangueira também deve ser liberado. Portanto, no final, a área multiplicada pela velocidade na extremidade de um tubo / mangueira deve permanecer constante.

Em conseqüência necessária, se a área do tubo / mangueira diminuir, a velocidade do fluido também deve aumentar para manter a vazão constante.

Enquanto o Equação de Navier-Stokes descreve as relações entre velocidade, pressão, temperaturas e densidade de um fluido em movimento. Esta equação geralmente é associada a várias formas de equação diferencial. Normalmente, é muito complexo de resolver analiticamente.

Em que se baseia a equação de continuidade?

A equação de continuidade diz que o volume de fluido que entra no tubo de qualquer seção transversal deve ser igual ao volume de fluido que sai do outro lado da área da seção transversal, o que significa que a taxa de vazão deve ser constante e deve siga a relação

Suponha que o fluido seja incompressível (líquido), então a densidade do fluido não mudará em nenhum ponto. Isso significa que a densidade do fluido é constante.

AV = Constante

Taxa de fluxo = A₁ V₁ = A₂ V₂

Para que é usada a equação de continuidade?

Equação de continuidade tem muitas aplicações no campo da Hidrodinâmica, Aerodinâmica, Eletromagnetismo, Mecânica Quântica. É um conceito importante para a regra fundamental do Princípio de Bernoulli, está indiretamente envolvido no princípio e aplicações da Aerodinâmica.

A equação de continuidade expressa uma lei de conservação local dependendo do contexto. É apenas uma afirmação matemática sutil, mas muito poderosa, no que diz respeito à conservação local de quantidades específicas.

A equação de continuidade é válida para o fluxo supersônico?

Sim, pode ser usado para fluxo supersônico. Ele pode ser usado para outros fluxos como hipersônico, supersônico e subsônico. A diferença é que você deve usar a forma conservadora da equação.

Qual é a forma tridimensional da equação de continuidade para fluxo constante e incompressível?

Se considerarmos o fluxo é constante e incompressível. Sabemos que no caso de fluxo constante ?? /? T = 0. Se o fluxo for incompressível, então a densidade? permanece constante. Portanto, ao considerar essa condição, a Eq. 8 pode ser escrito como,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Qual é a forma 3D da equação de continuidade para escoamento compressível e incompressível constante?

No fluxo bidimensional, existem duas direções x e y. Portanto, a velocidade u na direção xe a velocidade v na direção y. Não há direção z, então a velocidade na direção z é zero. Ao considerar essas condições, a Eq. 8 girado como abaixo,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Questões de múltipla escolha

Qual das opções a seguir é uma forma de equação de continuidade?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. ΔV/t
4. v₁ / UMA₁ = v₂ / UMA₂

O que a equação de continuidade dá ao conceito sobre o movimento de um fluido ideal?

1. Conforme a área da seção transversal aumenta, a velocidade aumenta.
2. Conforme a área da seção transversal diminui, a velocidade aumenta.
3. Conforme a área da seção transversal diminui, a velocidade diminui.
4. Conforme a área da seção transversal aumenta, o volume diminui.
5. Conforme o volume aumenta, a velocidade diminui.

A equação de continuidade é baseada no princípio de

a) Conservação de massa

b) conservação do momento

c) conservação de energia

d) conservação de força

Dois diâmetros de tubo semelhantes de d convergem para obter um tubo de diâmetro D. Qual pode ser a observação entre d e D ?. A velocidade do fluxo no novo tubo será o dobro de cada um dos dois tubos?

a) D = d

b) D = 2d

c) D = 3d

e) D = 4d

Os tubos de diferentes diâmetros d1 e d2 convergem para obter um tubo de diâmetro 2d. Se a velocidade do líquido em ambos os tubos for v1 e v2, qual será a velocidade do fluxo no novo tubo?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Conclusão

Este artigo inclui derivações de equações de continuidade com suas diferentes formas e condições. Exemplos básicos e perguntas são dados para uma melhor compreensão do conceito da equação de continuidade.

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Sou Deepak Kumar Jani, estou fazendo doutorado em Energia Mecânica-Renovável. Tenho cinco anos de docência e dois anos de experiência em pesquisa. Minha área de interesse é engenharia térmica, engenharia automobilística, medição mecânica, desenho de engenharia, mecânica de fluidos, etc. Eu registrei uma patente sobre “Hibridização de energia verde para produção de energia”. Publiquei 17 artigos de pesquisa e dois livros.
Estou feliz por fazer parte do Lambdageeks e gostaria de apresentar um pouco da minha experiência de forma simplista aos leitores.
Além dos estudos e da pesquisa, gosto de passear pela natureza, capturá-la e criar consciência sobre a natureza entre as pessoas.
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