Deflexão da viga | Visão geral completa e relações importantes

Conteúdo: Deflexão da Viga

• Definição de curva de deflexão
• Definição do ângulo de deflexão
• Definição de Deflexão
• Condições de limite de deflexão de viga
• Relação entre as forças de carregamento, força de cisalhamento, momento de flexão, inclinação e deflexão
• Equações e relações de dobra de viga
• Tabela de deflexão de viga e fórmulas para casos de carga padrão
• Deflexão da viga e inclinação com exemplos Caso I: Viga suspensa
• Caso II: Determine a deflexão máxima da viga simplesmente apoiada com carga pontual no centro
• Caso III: Determine a deflexão máxima da viga simplesmente apoiada com uma carga pontual concentrada a uma distância 'a' do suporte A
• Método de Integração Dupla
• Procedimento para Método de Integração Dupla
• Método de integração dupla para encontrar a deflexão do feixe usando o Exemplo de um viga cantilever com carga uniformemente distribuída
• Método de integração dupla para carregamento triangular

In Engenharia, deflexão é o grau em que um elemento estrutural é deslocado sob uma carga (devido à sua deformação). Pode referir-se a um ângulo ou distância. A distância de deflexão de um membro sob uma carga pode ser calculada integrando a função que descreve matematicamente a inclinação da forma defletida do membro sob essa carga. Existem fórmulas padrão para a deflexão de configurações de vigas comuns e casos de carga em locais discretos. Caso contrário, métodos como trabalho virtual, integração direta, método de Castigliano, método de Macaulay ou método de rigidez direta são usados.

Curva de Deflexão

Quando as vigas são carregadas por cargas laterais ou longitudinais, o eixo longitudinal reto inicial é deformado em uma curva conhecida como curva elástica da viga ou curva de deflexão. A curva de deflexão é o eixo deformado da viga selecionada.

Ângulo de Deflexão

A inclinação pode ser definida como o ângulo entre o eixo longitudinal da viga e a tangente construída para a curva de deformação da viga em qualquer local desejado. É o ângulo de rotação do eixo neutro da viga. É medido em radianos.

Deflexão

Deflexão é a translação ou deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga, medido na direção y a partir do eixo longitudinal reto inicial até o ponto na curva de deflexão da viga. É medido em mm. A deflexão representa o desvio do eixo longitudinal reto devido ao carregamento transversal. Em contraste, a flambagem da viga representa o desvio do eixo longitudinal reto inicial devido à carga de compressão axial. Geralmente é representado por 'y '

Se a viga se curva como o arco de um círculo, é chamada de curvatura circular; caso contrário, é denominado flexão não circular. Suponha que uma viga prismática esteja sujeita a um momento fletor variável. Nesse caso, resulta em uma flexão do tipo não circular e, se for submetido a um momento fletor constante, resulta em uma flexão circular da viga.

Condições de limite de deflexão de viga

1. y é zero em um pino ou suporte de rolo.
2. y é zero em um suporte embutido ou em balanço.
3. Suponha que o momento de flexão e a rigidez flexural sejam funções descontínuas de x. Nesse caso, uma única equação diferencial não pode ser escrita para toda a viga; as equações da curva para dois segmentos adjacentes devem satisfazer as duas condições fornecidas na junção entre os segmentos:

• 1. O y para a seção à esquerda deve ser igual ay para a seção à direita.
• 2. A inclinação da seção à esquerda deve ser igual à inclinação da seção à direita.

Relação entre as forças de carregamento, força de cisalhamento, momento de flexão, inclinação e deflexão

Considere uma viga horizontal AB em condição sem carga. Se AB desviar sob a carga, a nova posição será A'B '. A inclinação em qualquer ponto C será

eu=\\frac{dy}{dx}

Normalmente, a deflexão é mínima e, para um pequeno raio de curvatura,

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Mas\\;i=\\frac{dy}{dx}

Assim,

\frac{d^2y}{dx^2}=1/R  

De acordo com a teoria do momento fletor simples

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Assim,

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Onde,

E = Módulo de Young do material

I = momento de inércia da área

M = Momento Máximo

R = Raio de curvatura da viga

Esta é a equação diferencial básica para a deflexão da viga.

Equações e relações de dobra de viga

Deflexão = y

Inclinação = \frac{dy}{dx}

Momento de flexão\\;=EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Cisalhamento\\; Força = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Carregar \\;distribuição =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Tabela de deflexão de feixe e fórmulas para casos de carga padrão:

• A inclinação e a deflexão máximas em uma viga cantilever ocorrem na extremidade livre da viga, enquanto nenhuma inclinação ou deflexão é observada na extremidade fixada de uma viga cantilever.
•  Para uma viga simplesmente apoiada com condições de carregamento simétricas, a deflexão máxima pode ser encontrada no meio do vão. A inclinação máxima pode ser observada nos apoios da viga. A deflexão máxima ocorre onde a inclinação é zero.

Deflexão de viga e inclinação com exemplos

Caso I: Viga suspensa

Considere uma viga de aço suspensa carregando uma carga concentrada P = 50 kN na extremidade C.

Para a viga suspensa, (a) determinar a inclinação e a deflexão máxima, (b) avaliar a inclinação a 7m de A e a deflexão máxima a partir dos dados I = 722 cm² , E = 210 GPa.

Solução: O diagrama de corpo livre para a viga dada é

O valor da reação em A e B pode ser calculado aplicando as condições de equilíbrio

\\soma F_y=0\\;\\soma M_A=0

Para Equilíbrio vertical, F_y = 0

R_A + R_B = P

Tomando um momento sobre A, o momento no sentido horário positivo e o momento no sentido anti-horário é considerado negativo.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Assim,

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \frac{-Pa}{L}

Considere qualquer seção AD a uma distância x do suporte A

O momento no ponto D é

M= \\frac{-Pa}{L x}

Usando a equação diferencial da curva,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Integrando duas vezes, obtemos

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

Encontramos as constantes de integração usando as condições de contorno disponíveis para nós

Em x = 0, y = 0; da equação [2], obtemos,

C_2 = 0

Em x = L, y = 0; da equação [2] obtemos,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \frac{PaL}{6}

Assim, a equação da inclinação assim obtida substituindo os valores de C₁ e C₂ em 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}……………….. [3]

Assim, a equação de deflexão assim obtida substituindo os valores de C₁ e C₂ em 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

A deflexão máxima ocorre quando a inclinação é zero. Assim, a localização do ponto de máxima deflexão pode ser encontrada em [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 L

Colocando o valor de x na equação [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{máx}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Avalie a inclinação a 7m de A a partir dos dados fornecidos:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4 , E = 210\\; GPa = 210*10^9\\; Pai

Usando a equação [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radianos

a deflexão máxima no feixe pode ser dada por

y_{máx}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{máx}=1.89 \\;m

Caso II: Determine a deflexão máxima da viga simplesmente apoiada com a carga pontual no centro.

Considere uma viga de aço simplesmente suportada carregando uma carga concentrada F = 50 kN no Ponto C. Para a viga simplesmente apoiada, (a) avalie a inclinação em A e a deflexão máxima a partir dos dados fornecidos: Eu = 722 centímetros⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m

A Figura abaixo mostra o FBD para uma viga simplesmente apoiada com carga pontual.

De acordo com relações e fórmulas padrão

A inclinação no final da viga pode ser dada por

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\frac{dy}{dx}=0.463

Para uma viga simplesmente apoiada com carga pontual atuando no centro, a Deflexão Máxima pode ser determinada por

y_{máx}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{máx}=2.31 \\;m

Caso III: Para viga simplesmente apoiada com uma carga pontual concentrada a uma distância do suporte A

Considere uma viga de aço simplesmente suportada carregando uma carga concentrada F = 50 kN no Ponto C. Para a viga simplesmente apoiada, (a) avalie a inclinação em A e B e a deflexão máxima a partir dos dados fornecidos: Eu = 722 centímetros⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

A Figura abaixo mostra o FBD para uma viga simplesmente apoiada com carga pontual.

De acordo com relações e fórmulas padrão

A inclinação no suporte A da viga pode ser dada por

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;radianos 

A inclinação no suporte B da viga pode ser dada por

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;radianos

Para uma viga simplesmente apoiada com carga pontual atuando no centro, a Deflexão Máxima pode ser determinada por

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{máx}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Método de Integração Dupla

Se a rigidez flexural EI for constante e o momento for função da distância x, Integração de EI (d² y) / (dx² ) = M produzirá inclinação

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

onde C₁ e C₂ são constantes. Eles são determinados usando as condições de contorno ou outras condições na viga. A equação acima fornece a deflexão y como uma função de x; é chamada de equação da curva elástica ou de deformação.

O método de análise de deflexão e inclinação da viga acima é conhecido como método de integração dupla para calcular as deflexões da viga. Se o momento fletor e a rigidez flexural forem funções contínuas de x, uma única equação diferencial pode ser observada para toda a viga. Para um feixe estaticamente determinado, existem duas reações de suporte; cada um impõe um determinado conjunto de restrições à inclinação da curva elástica. Essas restrições são chamadas de condições de contorno e são usadas para determinar as duas constantes de integração.

Condições de contorno do método de integração dupla

1. y é zero em um pino ou suporte de rolo.
2. y é zero em um suporte embutido ou em balanço.
3. Suponha que o momento de flexão e a rigidez flexural sejam funções descontínuas de x. Nesse caso, uma única equação diferencial não pode ser escrita para toda a viga; as equações da curva para dois segmentos adjacentes devem satisfazer as duas condições fornecidas na junção entre os segmentos:

• 1. O y para a seção à esquerda deve ser igual ay para a seção à direita.
• 2. A inclinação da seção à esquerda deve ser igual à inclinação da seção à direita.

Procedimento para Método de Integração Dupla

• Desenhe a curva elástica para a viga e considere todas as condições de contorno necessárias, como y é zero em um pino ou suporte de rolo e y é zero em um suporte embutido ou cantilever.
• Determine o momento fletor M a uma distância arbitrária x do suporte usando o método das seções. Use as regras de Momento de dobra apropriadas ao encontrar o Momento M. para um momento descontínuo, as equações da curva para dois segmentos adjacentes devem satisfazer as duas condições dadas na junção entre os segmentos: 1. O y para a seção esquerda deve ser igual ao y para a seção da direita. 2. A inclinação da seção à esquerda deve ser igual à inclinação da seção à direita.
• Integre a equação duas vezes para obter a inclinação e a deflexão e não se esqueça de encontrar a integração constante para cada seção usando as condições de contorno.

Exemplos de método de dupla integração para encontrar a deflexão do feixe

Considere a viga Cantilever de comprimento L mostrada na Figura abaixo com carga uniformemente distribuída. Em uma viga cantilever, uma extremidade é fixa enquanto a outra extremidade está livre para se mover. Derivaremos a equação para inclinação e momento fletor para esta viga usando o método de integração dupla.

O momento fletor atuando na distância x da extremidade esquerda pode ser obtido como:

M=-wx* \frac{x}{2}

Usando a equação diferencial da curva,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integrando assim que conseguirmos,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Integrando a equação [1], obtemos,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

As constantes de integrações podem ser obtidas usando as condições de contorno,

Em x = L, dy / dx = 0; já que o suporte em A resiste a movimentos. Assim, da equação [1], obtemos,

C_1=\frac{wL^3}{6}

Em x = L, y = 0, Sem deflexão no suporte ou extremidade fixa A Assim, da equação [2], obtemos,

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \frac{-wL^4}{8}

 Substituindo o valor da constante em [1] e [2], obtemos novos conjuntos de equações como

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

avalie a inclinação em x = 12 me a deflexão máxima a partir dos dados fornecidos: Eu = 722 centímetros⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Das equações acima: em x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radianos

Da equação [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Método de integração dupla para carregamento triangular

Considere a viga simplesmente apoiada de comprimento L mostrada na figura abaixo com carregamento triangular. Derivaremos a equação para inclinação e momento fletor para esta viga usando o método de integração dupla.

Como o carregamento é simétrico, cada reação de suporte suportará metade do carregamento total. Verificou-se que a reação em A e B é wL / 4.

Momento em qualquer ponto a uma distância x de R_A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

A integração duas vezes nos dará as equações,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Em x = 0, y = 0; da equação [2], obtemos,

C_2 = 0

Devido à simetria da carga, a inclinação no meio do vão é zero. Assim, dy / dx = 0 em x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Substituindo o valor das constantes em [1] e [2], obtemos,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

A deflexão máxima será observada no centro da viga. ou seja, em L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

avalie a inclinação em x = 12 m e o valor máximo de y a partir dos dados fornecidos: Eu = 722 centímetros⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Das equações acima: em x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radianos

Da equação [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

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Hakimuddin Bawangaonwala

Sou Hakimuddin Bawangaonwala, engenheiro de projeto mecânico com experiência em projeto e desenvolvimento mecânico. Concluí M. Tech em Engenharia de Design e tenho 2.5 anos de experiência em pesquisa. Até agora foram publicados dois artigos de pesquisa sobre torneamento duro e análise de elementos finitos de acessórios de tratamento térmico. Minha área de interesse é projeto de máquinas, resistência de materiais, transferência de calor, engenharia térmica, etc. Proficiente em software CATIA e ANSYS para CAD e CAE. Além de Pesquisa.