Variável Aleatória Discreta e Expectativa Matemática

Normalmente não estamos interessados ​​em todos os resultados possíveis de qualquer experimento aleatório ou não aleatório, em vez disso, estamos interessados ​​em alguma probabilidade ou valor numérico para os eventos favoráveis, por exemplo, suponha que estamos jogando dois dados para a soma de 8, então não estamos interessado no resultado como primeiro dado tendo 2 segundos dados como 6 ou (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), etc. da mesma forma, para o experimento aleatório de reservatório na vida diária, não estamos interessados ​​no aumento ou diminuição diária do nível de água, mas apenas no nível de água da estação chuvosa após a conclusão.

Assim, tais quantidades numéricas nas quais estamos interessados ​​são consideradas como variáveis ​​aleatórias do respectivo experimento aleatório. Para este propósito, atribuímos os valores reais possíveis aos resultados do experimento aleatório numericamente. Para ilustrar a atribuição de valor numérico ao resultado, considere o experimento de jogar uma moeda, atribuímos os valores numéricos 0 e 1 para cara e trilha, respectivamente, no espaço amostral do experimento aleatório. 

Variável aleatória discreta

Variável aleatória discreta podem ser definidas como as variáveis ​​aleatórias que são finitas ou contáveis ​​em número e aquelas que não são finitas ou contavelmente infinitas são variáveis ​​aleatórias não discretas. Para cada elemento do espaço amostral estamos atribuindo um número real, isso pode ser interpretado em termos de função de valor real denotada por X, isto é, X: S → R. Chamamos essa função de variável aleatória ou função estocástica, que tem alguma importância física, geométrica ou qualquer outra.

Exemplo: Considere uma experiência de lançar dois dados e, em seguida, suponha uma variável aleatória ou função estocástica representam a soma dos pontos que aparecem nos dados e os valores possíveis para o espaço amostral

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

será X = 2, para (1,1)

X = 3 para (1,2), (2,1) etc a partir do seguinte, podemos entender facilmente

Na tabela acima, os elementos diagonais da direita para a esquerda darão a soma expressa pela variável aleatória ou função estocástica.

A probabilidade para a respectiva variável aleatória pode ser expressa da seguinte forma

Distribuição de probabilidade discreta

Distribuição de probabilidade discreta são as probabilidades das variáveis ​​aleatórias que são discretas por natureza, em particular se x₁, x₂, x₃, x₄, ………., X_k são os valores de variável aleatória discreta X depois P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) são as probabilidades correspondentes.

Função de probabilidade / distribuição de probabilidade que podemos denotar como 

P (X = x) = f (x)

e seguindo a definição da probabilidade, esta função satisfaz as seguintes condições.

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, onde esta soma é a soma total para x.

Exemplo: Se uma moeda for lançada duas vezes, então se expressarmos o número de trilhas surgirem como variável aleatória X, então seria 

Se pegarmos a moeda justa, o resultado acima será o resultado para jogar duas vezes e a probabilidade de tal variável aleatória será

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH ou HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

e P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Podemos tabular esta distribuição de probabilidade da seguinte forma

Função de distribuição cumulativa (cdf) / Função de distribuição

Vamos definir Função de distribuição or Função de distribuição cumulativa (cdf) para a variável aleatória discreta X denotada por F (x), para-∞≤x≤∞ como

F (x) = P (X≤x)

Desde que siga

1. Para qualquer x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y), isto é, a função de distribuição cumulativa F (x) não é decrescente.
2. F (x) = 0 e F (x) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x ie. a função de distribuição cumulativa F (x) é contínua à direita.

Desde para o variável aleatória discreta probabilidade para X = x é P (X = x), para x₁<X<x₂ será P (x₁<X<x₂) e para X≤x é P (X≤x).

Podemos escrever a função de distribuição para a função de distribuição discreta da seguinte forma

podemos obter a função de probabilidade da função de distribuição como

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Exemplo: A probabilidade para a variável aleatória discreta é dado como segue

Encontre F2, F5, F (7)?

Alternativa?

Expectativa Matemática 

   Expectativa matemática é um conceito muito importante para a teoria da probabilidade assim como do ponto de vista estatístico também é conhecido como a expectativa ou valor esperado, pode ser definido como a soma de variáveis ​​aleatórias e suas probabilidades na multiplicação, ou seja, se x₁, x₂, x₃, x₄, ……… .x_n são os valores da variável aleatória discreta X então P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) são as probabilidades correspondentes então expectativa matemática de variável aleatória X denotado por E(x) como

Exemplo: De um baralho de 72 cartas numeradas de 1 a 72 por vez, 8 cartas são sorteadas, encontre o valor esperado da soma dos números nos bilhetes sorteados.

Alternativa?. considere as variáveis ​​aleatórias x₁, x₂, x₃, x₄, ……… .x_n representando as cartas numeradas 1, 2, 3, 4, ………, 72

então a probabilidade de qualquer x em 72 cartas é 

P (x_i) = 1 / n = 1/72

desde então a expectativa será

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Agora, o valor esperado para 8 desses cartões será 

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

variação, Desvio padrão e Desvio médio por Expectativa Matemática

A conceitos importantes da estatistica desvio padrão e variação podemos expressar em termos de expectativa matemática, portanto, se as variáveis ​​aleatórias x₁, x₂, x₃, x₄, ……… .x_n com as probabilidades correspondentes P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n), então a variação será

Exemplo: Em um jogo, se um dado justo for usado e o jogador ganhará se qualquer valor ímpar vier nos dados e o prêmio em dinheiro receberá Rs 20 se 1 vier, Rs 40 por 3 e Rs 60 por 5 e se houver qualquer outra face dos dados veio a perda de Rs 10 para o jogador. encontre o dinheiro esperado que pode ser ganho com variância e desvio padrão.

Alternativa?

Para os dados justos, sabemos a distribuição das probabilidades,

Seja X a variável aleatória para os dados convertidos de acordo com os requisitos do jogo: dinheiro ganho ou perda quando a face veio como segue,

então a quantia esperada ganha por qualquer jogador será

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

então a quantia esperada ganha por qualquer jogador seria μ = 15

O resultado da expectativa matemática, bem como a variância, podem ser generalizados para mais de duas variáveis ​​conforme a necessidade.

Conclusão:

   Neste artigo discutimos principalmente a variável aleatória discreta, distribuição de probabilidade e função de distribuição conhecida como função de distribuição cumulativa cdf, também o conceito de Expectativa matemática para variável aleatória discreta e qual seria o desvio médio, variância e desvio padrão para tal variável aleatória discreta é explicado com a ajuda de exemplos adequados no próximo artigo, discutiremos o mesmo para variável aleatória contínua, se você quiser ler mais, passe por:

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Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.