Distribuição gama: 7 propriedades importantes que você deve conhecer

Distribuição Gama

Uma das variáveis ​​aleatórias contínuas e distribuição contínua é a distribuição Gama, como sabemos que a variável aleatória contínua lida com os valores ou intervalos contínuos, então é a distribuição Gama com função de densidade de probabilidade específica e função de massa de probabilidade, na discussão sucessiva que discutimos em detalhe o conceito, propriedades e resultados com exemplos de variável aleatória gama e distribuição gama.

Variável aleatória gama ou distribuição gama | o que é distribuição gama | definir distribuição gama | função de densidade de distribuição gama | função densidade de probabilidade de distribuição gama | prova de distribuição gama

Uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade

é conhecido por ser variável aleatória Gamma ou distribuição Gamma onde α> 0, λ> 0 e a função gama

temos a propriedade muito frequente da função gama por integração por partes como

Se continuarmos o processo a partir de n, então

e por último o valor de gama de um será

assim, o valor será

cdf de distribuição gama | distribuição gama cumulativa | integração da distribuição gama

A distribuição cumulativa função (cdf) da variável aleatória gama ou simplesmente a função de distribuição da variável aleatória gama é a mesma da variável aleatória contínua desde que a função de densidade de probabilidade seja diferente, ou seja

aqui, a função de densidade de probabilidade é conforme definido acima para a distribuição gama, a função de distribuição cumulativa que podemos escrever também como

em ambos os formatos acima, o valor de pdf é o seguinte

onde α> 0, λ> 0 são números reais.

Fórmula de distribuição gama | fórmula para distribuição gama | equação de distribuição gama | derivação de distribuição gama

Para encontrar a probabilidade para a variável aleatória gama, a função de densidade de probabilidade que temos que usar para diferentes dados α> 0, λ> 0 é como

e usando o pdf acima a distribuição da variável aleatória gama, podemos obter por

Assim, a fórmula de distribuição gama requer o valor pdf e os limites para a variável aleatória gama de acordo com o requisito.

Exemplo de distribuição gama

Mostre que a probabilidade total de distribuição gama é um com a função de densidade de probabilidade dada, ou seja

para λ> 0, α> 0.
Alternativa?
usando a fórmula para a distribuição gama

uma vez que a função de densidade de probabilidade para a distribuição gama é

que é zero para todos os valores menores que zero, então a probabilidade será agora

usando a definição da função gama

e substituição nós temos

assim

Média e variância da distribuição gama | expectativa e variância da distribuição gama | valor esperado e variação da distribuição gama | Média da distribuição gama | valor esperado da distribuição gama | expectativa de distribuição gama

Na discussão a seguir, encontraremos a média e a variância para a distribuição gama com a ajuda de definições padrão de expectativa e variância de variáveis ​​aleatórias contínuas,

O valor esperado ou média da variável aleatória contínua X com função de densidade de probabilidade

ou a variável aleatória Gamma X será

média da prova de distribuição gama | valor esperado da prova de distribuição gama

Para obter o valor esperado ou a média da distribuição gama, seguiremos a definição e propriedade da função gama,
primeiro pela definição de expectativa de variável aleatória contínua e função de densidade de probabilidade da variável aleatória gama, temos

cancelando o fator comum e usando a definição da função gama

agora, como temos a propriedade da função gama

o valor da expectativa será

assim, a média ou valor esperado da variável aleatória gama ou distribuição gama que obtemos é

variância da distribuição gama | variância de uma distribuição gama

A variância para a variável aleatória gama com a função de densidade de probabilidade dada

ou a variação da distribuição gama será

variância da prova de distribuição gama

Como sabemos que a variância é a diferença dos valores esperados como

para a distribuição gama, já temos o valor da média

agora, primeiro vamos calcular o valor de E [X²], então, por definição de expectativa para a variável aleatória contínua, temos
uma vez que a função f (x) é a função de distribuição de probabilidade da distribuição gama como

então a integral será de zero a infinito apenas

então, por definição da função gama, podemos escrever

Assim, usando a propriedade da função gama, obtivemos o valor de

Agora, colocando o valor dessas expectativas em

assim, o valor da variância da distribuição gama ou variável aleatória gama é

Parâmetros de distribuição gama | distribuição gama de dois parâmetros | Distribuição gama de 2 variáveis

A distribuição Gama com os parâmetros λ> 0, α> 0 e a função de densidade de probabilidade

tem parâmetros estatísticos de média e variância como

e

uma vez que λ é um número real positivo, para simplificar e facilitar o manuseio, outra maneira é definir λ = 1 / β, então isso dá a função de densidade de probabilidade na forma

em resumo, a função de distribuição ou função de distribuição cumulativa para esta densidade, podemos expressar como

esta função de densidade gama dá a média e variância como

e

o que é óbvio pela substituição.
Ambas as formas são comumente usadas ou a distribuição gama com os parâmetros α e λ denotados por gama (α, λ) ou a distribuição gama com os parâmetros β e λ denotados por gama (β, λ) com os respectivos parâmetros estatísticos média e variância em cada uma das formas.
Ambos são nada mais que iguais.

Gráfico de distribuição gama | gráfico de distribuição gama | histograma de distribuição gama

A natureza da distribuição gama, podemos facilmente visualizar com a ajuda do gráfico para alguns dos valores específicos dos parâmetros, aqui desenhamos os gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de densidade cumulativa para alguns valores de parâmetros
vamos tomar a função de densidade de probabilidade como

então a função de distribuição cumulativa será

Descrição: gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de alfa como 1 e variando o valor de beta.

Descrição: gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de alfa como 2 e variando o valor de beta

Descrição: gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de alfa como 3 e variando o valor de beta

Descrição: gráficos para a função densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de beta como 1 e variando o valor de alfa

Descrição: gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de beta como 2 e variando o valor de alfa

Descrição: gráficos para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa fixando o valor de beta em 3 e variando o valor de alfa.

Em geral, curvas diferentes para variação de alfa é

Tabela de distribuição gama | tabela de distribuição gama padrão

O valor numérico da função gama

conhecido como valores numéricos de função gama incompletos, como segue

O valor numérico de distribuição gama para esboçar o gráfico para a função de densidade de probabilidade e função de distribuição cumulativa para alguns valores iniciais são os seguintes

encontrar alfa e beta para distribuição gama | como calcular alfa e beta para distribuição gama | estimativa do parâmetro de distribuição gama

Para uma distribuição gama encontrando alfa e beta, tomaremos a média e a variância da distribuição gama

e

agora obteremos o valor do beta como

so

e

assim

pegando apenas algumas frações da distribuição gama, obteremos o valor de alfa e beta.

problemas e soluções de distribuição gama | problemas de exemplo de distribuição gama | tutorial de distribuição gama | questão de distribuição gama

1. Considere que o tempo necessário para resolver o problema para um cliente é gama distribuído em horas com média 1.5 e variância 0.75 qual seria o probabilidade de que o problema tempo de resolução superior a 2 horas, se o tempo exceder 2 horas qual seria a probabilidade do problema ser resolvido em pelo menos 5 horas.

solução: uma vez que a variável aleatória tem distribuição gama com média 1.5 e variância 0.75, então podemos encontrar os valores de alfa e beta e com a ajuda desses valores a probabilidade será

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

e

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Se o feedback negativo na semana dos usuários for modelado na distribuição gama com parâmetros alfa 2 e beta como 4 após o feedback negativo de 12 semanas após a reestruturação da qualidade, a partir dessa informação a reestruturação pode melhorar o desempenho?

solução: Como isso é modelado na distribuição gama com α = 2, β = 4

encontraremos a média e o desvio padrão como μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

uma vez que o valor X = 12 está dentro do desvio padrão da média então não podemos dizer que se trata de melhora ou não pela reestruturação da qualidade, provar que a melhora ocasionada pelas informações de reestruturação fornecidas é insuficiente.

3. Seja X o distribuição gama com os parâmetros α=1/2, λ=1/2 , encontre a função densidade de probabilidade para a função Y=Raiz quadrada de X

Solução: vamos calcular a função de distribuição cumulativa para Y como

agora diferenciar isso em relação a y dá a função de densidade de probabilidade para Y como

e o intervalo para y será de 0 a infinito

Conclusão:

O conceito de distribuição gama em probabilidade e estatística é aquele da importante distribuição aplicável no dia a dia da família exponencial, todos os conceitos de nível básico e superior foram discutidos até agora relacionados com distribuição gama, se precisar de mais leituras, leia os livros mencionados. Você também pode visitar matemática página para mais tópicos

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Um primeiro curso de probabilidade por Sheldon Ross
Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum
Uma introdução à probabilidade e estatística por ROHATGI e SALEH

Dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.