Polinômio de Hermite: 9 Fatos Rápidos Completos

  O polinômio de Hermite ocorre amplamente em aplicações como uma função ortogonal. O polinômio de Hermite é a solução em série da equação diferencial de Hermite.

Equação de Hermite

    A equação diferencial de segunda ordem com coeficientes específicos como

d²s/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

é conhecida como equação de Hermite, ao resolver esta equação diferencial obteremos o polinômio que é Polinômio de Hermite.

Vamos encontrar a solução da equação

d²s/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

com a ajuda da solução em série da equação diferencial

agora substituindo todos esses valores na equação de Hermite, temos

Esta equação satisfaz para o valor de k = 0 e como assumimos o valor de k não será negativo, agora para o termo de menor grau x^m-2 tome k = 0 na primeira equação, pois a segunda dá valor negativo, então o coeficiente x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

como um₀ ≠ 0

agora da mesma maneira igualando o coeficiente de x^m-1 da segunda soma

e igualar os coeficientes de x^{m + k} para zero,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

podemos escrever como

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

se m = 0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

se m = 1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) uma_k

para esses dois casos agora discutimos os casos de k

Quando $m=0, um_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Se, $k=0 a₂ =-2n/2uma₀=-na₀$

$k=1, um₃=2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3 ! uma₁$

Se $k=2, um₄ =2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4! uma₀$

até agora m = 0, temos duas condições quando um₁= 0, então um₃=a₅=a₇=…. = A_{2r + 1}= 0 e quando um₁ então não é zero

seguindo isso, coloque os valores de um₀,a₁,a₂,a₃,a₄ e de um₅ temos

e para m = 1 a₁= 0 colocando k = 0,1,2,3,… .. obtemos

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)uma_k

então a solução será

então a solução completa é

onde A e B são as constantes arbitrárias

Polinômio de Hermite

   A solução da equação de Hermite é da forma y (x) = Ay₁(x) + Por₂(x) onde y₁(x) e y₂(x) são os termos da série conforme discutido acima,

uma dessas séries termina se n for um inteiro não negativo se n for mesmo y₁ termina de outra forma y₂ se n é ímpar, e podemos facilmente verificar que para n=0,1,2,3,4…….. esses polinômios são

1,x,1-2x²,x-2/3x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

então podemos dizer aqui que a solução da equação de Hermite são múltiplos constantes desses polinômios e os termos que contêm maior potência de x são da forma 2ⁿxⁿ denotado por H_n(x) é conhecido como Polinômio de Hermite

Função geradora do polinômio de Hermite

Polinômio de Hermite geralmente definido com a ajuda de relação usando a função geradora

[n / 2] é o maior número inteiro menor ou igual a n / 2, portanto segue o valor de H_n(X) as

isto mostra que H_n(X) é um polinômio de grau n em x e

H_n(x) = 2ⁿxⁿ +π_n-2 (X)

onde π_n-2 (x) é o polinômio de grau n-2 em x, e será a função par de x para o valor par de n e a função ímpar de x para o valor ímpar de n, então

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

alguns dos polinômios iniciais de Hermite são

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Função geradora do polinômio de Hermite pela Fórmula de Rodrigue

O polinômio de Hermite também pode ser definido com a ajuda da fórmula de Rodrigue usando a função geradora

uma vez que a relação de função geradora

  Usando o teorema de Maclaurin, temos

or

colocando z = xt e

para t = 0, então z = x dá

isso podemos mostrar de outra maneira como

diferenciando

com respeito a t dá

tomando o limite t tende a zero

agora diferenciando em relação a x

tomando o limite t tende a zero

a partir dessas duas expressões, podemos escrever

da mesma forma que podemos escrever

 diferenciando n vezes colocar t = 0, obtemos

a partir desses valores, podemos escrever

a partir deles podemos obter os valores

Exemplo no polinômio de Hermite           

1. Encontre o polinômio comum de

Solução: usando a definição do polinômio de Hermite e as relações que temos

2. Encontre o polinômio de Hermite do polinômio comum

Solução: A equação dada podemos converter para Hermite como

e a partir desta equação igualando o mesmo coeficiente de poderes

portanto, o polinômio de Hermite será

Ortogonalidade do polinômio de Hermite | Propriedade ortogonal do polinômio de Hermite

A característica importante para o polinômio de Hermite é sua ortogonalidade, que afirma que

Para provar essa ortogonalidade, vamos lembrar que

que é a função geradora para o polinômio de Hermite e sabemos

então, multiplicando essas duas equações, teremos

multiplicando e integrando dentro de limites infinitos

e desde

so

usando este valor na expressão acima, temos

que dá

agora iguale os coeficientes em ambos os lados

que mostra a propriedade ortogonal do polinômio de Hermite.

  O resultado da propriedade ortogonal do polinômio de Hermite pode ser mostrado de outra forma, considerando a relação de recorrência

Exemplo de ortogonalidade do polinômio de Hermite

1. Avalie o integral

Solução: Usando a propriedade de ortogonalidade do polinômio de hermite

uma vez que os valores aqui são m = 3 e n = 2, então

2. Avalie o integral

Solução: Usando a propriedade de ortogonalidade do polinômio de Hermite, podemos escrever

Relações de recorrência do polinômio de Hermite

O valor do polinômio de Hermite pode ser facilmente descoberto pelas relações de recorrência

Essas relações podem ser facilmente obtidas com a ajuda de definições e propriedades.

Provas: 1. Nós conhecemos a equação de Hermite

y”-2xy'+2ny = 0

e a relação

tomando a diferenciação em relação ax parcialmente, podemos escrevê-la como

a partir dessas duas equações

agora substitua n por n-1

ao igualar o coeficiente de tⁿ

então o resultado necessário é

2. Da mesma forma, diferenciando parcialmente em relação a t a equação

obtemos

n = 0 desaparecerá, colocando este valor de e

agora igualando os coeficientes de tⁿ

assim

3. Para provar este resultado, iremos eliminar H_n-1 da

e

então nós temos

assim podemos escrever o resultado

4. Para provar este resultado, diferenciamos

nós começamos a relação

substituindo o valor

e substituindo n por n + 1

que dá

Exemplos de relações de recorrência do polinômio de Hermite

1. Mostre que

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Alternativa?

Para mostrar o resultado temos

H2n(x) =

tomando x = 0 aqui nós obtemos

2. Mostre que

H '_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Alternativa?

Desde a relação de recorrência

H '_n(x) = 2nH_n-1(X)

aqui substitua n por 2n + 1 então

H '_2n-1(x) = 2(2n+1)H_2n(X)

tomando x = 0

3. Encontre o valor de

H_{2n + 1}(0)

Solução

Já que sabemos

use x = 0 aqui

H_2n-1(0) = 0

4. Encontre o valor de H '_2n(0).

Solução :

nós temos a relação de recorrência

H '_n(x) = 2nH_n-1(X)

aqui substitua n por 2n

H '_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(X)

coloque x = 0

H '_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Mostre o seguinte resultado

Solução :

Usando a relação de recorrência

H '_n(x) = 2nH_n-1 (X)

so

e

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(X)

diferenciando isso m vezes

que dá

6. Mostre que

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

Solução :

nós podemos escrever

do coeficiente de tⁿ temos

e para -x

7. Avalie a integral e mostre

Solução : Para resolver esta integral, use partes de integração como

Agora a diferenciação sob o sinal de Integral diferencie com

respeito a x

utilização

H '_n(x) = 2_nH_n-1 (X)

e

H '_m(x) = 2mH_m-1 (X)

temos

e desde

???? _n,m-1 = ????_n+1,m

então o valor da integral será

Conclusão:

O polinômio específico que ocorre frequentemente na aplicação é o polinômio de Hermite, portanto, a definição básica, a função geradora, as relações de recorrência e os exemplos relacionados ao polinômio de Hermite foram discutidos brevemente aqui   , se você precisar de mais leitura, consulte

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Para mais postagens sobre matemática, siga nosso Página de matemática

Dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.