INTRODUÇÃO
O que é matemática? É cálculo? Isso é lógico? São símbolos? As fotos? Gráficos? Acontece que é tudo isso e muito mais. É MAS UMA LÍNGUA. A linguagem universal, tendo seus símbolos, personagens, expressões, vocabulário, gramática, tudo o que faz uma linguagem, tudo perfeitamente raciocinado, único e inequívoco em seu significado. É a linguagem na qual as leis do universo estão escritas. Portanto, é a linguagem que devemos aprender e explorar para desvendar os mistérios da natureza. Devemos começar nossa discussão sobre um dos tópicos matemáticos mais bonitos e fundamentais, a TEORIA DAS FUNÇÕES, com essa filosofia.
O QUE SÃO EXPRESSÕES, EQUAÇÕES E IDENTIDADES?
Como todas as linguagens bem definidas, a matemática vem com seu próprio conjunto de símbolos e caracteres, numéricos e alfabéticos. Uma expressão em matemática é uma combinação de tais símbolos e caracteres. Tudo isso será explicado neste teoria da função discussão.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Todas essas são expressões matemáticas. Não importa se eles podem ser avaliados ou não, se eles são significativos e seguem a sintaxe adequada, eles são expressões.
Agora, quando comparamos duas expressões com um sinal '=', temos algo como ...
(1+x)2 = 1+2x+x2
Que é uma expressão de igualdade de duas expressões escritas em cada lado de um sinal =. Observe que essa igualdade é verdadeira para todos os valores de x. Esses tipos de igualdade são chamados de IDENTIDADES.
(1+x)2 = 2+3x+2x2………… .. (1)
Ou gosta
(1+x)2 = 7-3x+2x2………… (2)
Então eles não serão verdadeiros para todos os valores de x, em vez disso, eles seriam verdadeiros para alguns valores de x como (2) ou eles seriam verdadeiros para NÃO valores de x, como (1). Estes são chamados de EQUAÇÕES.
Então, para resumir, as igualdades que existem para todos os valores das variáveis são IDENTIDADES. E igualdades que valem para alguns ou nenhum valor das variáveis são EQUAÇÕES.
POR QUE PRECISAMOS DO CONCEITO DE FUNÇÃO?
Não é surpreendente que o universo seja tão perfeitamente equilibrado? Um sistema de tamanho enorme feito de tantos sistemas menores, cada um com tantas variáveis interagindo entre si, mas tão bem comportado. Não parece que tudo é governado por um conjunto de regras invisíveis, mas existentes em toda parte? Veja o exemplo da força gravitacional. É inversamente proporcional à distância entre os corpos, e essa regra é seguida por todas as matérias, em todos os lugares do universo. Portanto, devemos ter uma forma de expressar tais regras, como conexões entre variáveis.
Estamos cercados por tais variáveis que dependem de outras variáveis. O comprimento da sombra de um edifício depende de sua altura e da hora do dia. A distância percorrida pelo carro depende do torque gerado por seu motor. É o conceito de teoria das funções que nos permite expressar matematicamente essas relações.
ASSIM, O QUE É UMA FUNÇÃO NA MATEMÁTICA?
Regra de função ou FUNÇÃO como uma regra
Para simplificar, uma função é uma regra que vincula duas ou mais variáveis. Se as variáveis puderem assumir apenas valores reais, então é simplesmente uma expressão que define uma regra ou um conjunto de regras que atribui um número real a cada um de certos números reais.
Agora, esta definição certamente requer alguns esclarecimentos que são dados por meio de exemplos como
1. A regra que atribui o cubo desse número a cada número.
f (x) = x3
2. A regra que atribui (x2-x-1)/x3 para cada x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. A regra que atribui (x2-x-1)/(x2+ x + 1) para todos os x que não são iguais a 1 e o número 0 a 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) para x ≠ 1
= 0 para x = 1
- f (x) = x2
para -1 <x <π / 3
- A regra que atribui
2 ao número 5
3 ao número 8/3
π / 2 para o número 1
e para o resto
- A regra que atribui a um número x o número de 1s em sua expansão decimal se a contagem for finita e 0 se houver infinitos 1s na expansão.
Esses exemplos devem deixar bem claro que uma função é qualquer regra que atribui números a outros números específicos. Essas regras nem sempre podem ser expressas por formulação algébrica. Eles podem nem apontar para uma condição única que se aplica a todos os números. E não precisa ser uma regra que se possa encontrar na prática ou no mundo real, como a da regra 6. Ninguém sabe dizer qual número essa regra atribui ao número π ou √2. A regra também pode não se aplicar a alguns números. Por exemplo, a regra 2 não se aplica a x=0. O conjunto de números ao qual a regra se aplica é chamado de DOMÍNIO da função.
ASSIM, O QUE SIGNIFICA y = f (x)?
Observe que estamos usando a expressão y=f(x) para escrever uma função. Sempre que iniciamos uma expressão com 'f(x) = y', queremos dizer que estamos prestes a definir uma função que relaciona um conjunto de números com um conjunto de valores da variável x.
FUNÇÃO como uma relação
Então, em outras palavras, e talvez em um sentido mais geral, uma função é uma relação entre dois conjuntos A e B, onde todos os elementos do conjunto A têm um elemento atribuído a eles do conjunto B. Os elementos do conjunto B são chamados de IMAGENS e os elementos do conjunto A são chamados de PRÉ-IMAGENS.
O processo de relacionar os elementos é chamado MAPEAMENTO. É claro que pode haver muitas maneiras de fazer esses mapeamentos, mas não chamaríamos todas elas como funções. Apenas os mapeamentos que relacionam os elementos de forma que cada elemento no conjunto A tenha exatamente uma imagem no conjunto B devem ser chamados de funções. Às vezes é escrito como f: A–> B. Isso deve ser lido como 'f é uma função de A a B'.
O conjunto A é chamado de DOMÍNIO da função e o conjunto B é chamado de CO-DOMÍNIO da função. Se f é tal que a imagem de um elemento a do conjunto A é o elemento b do conjunto B, então escrevemos f (a) = b, lido como 'f de a é igual a b', ou 'b é o valor de f em a ', ou' b é a imagem de a sob f '.
TIPOS DE FUNÇÕES
As funções podem ser classificadas de acordo com a maneira como relacionam os dois conjuntos.
Um - um ou função injetiva
A figura diz tudo. É quando uma função relaciona cada elemento de um conjunto a um elemento único de outro conjunto, é um a um ou função injetiva.
Muitos - uma função
Novamente, a figura é bastante autoexplicativa. Evidentemente, há mais de uma pré-imagem para uma imagem específica. Portanto, o mapeamento é de muitos para um. Observe que isso não viola a definição de uma função, pois nenhum elemento do conjunto A tem mais de uma imagem no conjunto B.
Função ONTO ou função SURJECTIVE
Quando todos os elementos do conjunto B possuem pelo menos uma pré-imagem, a função é chamada Onto ou sobrejetiva. O mapeamento Onto pode ser um para um ou muitos para um. O descrito acima é evidentemente muitos para um no mapeamento. Observe que a imagem usada anteriormente para representar o mapeamento um a um também está no mapeamento. Esse tipo de mapeamento um a um também é conhecido como BIJETIVA mapeamento.
Em função
Quando há pelo menos uma imagem sem qualquer pré-imagem, é uma função INTO. A função pode ser um para um ou muitos para um. O descrito acima é obviamente um para um.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Como já foi dito que uma função atribui números reais a certos números reais, é bem possível e conveniente plotar o par de números no plano cartesiano XY. O traço obtido conectando os pontos, é o gráfico da função.
Vamos considerar uma função f(x) = x + 3. Então, podemos avaliar f(x) em x=1,2,3 para obter três pares de x e f(x) como (1,4) , ( 3,6) e (5,8). Traçar esses pontos e conectá-los mostra que a função traça uma linha reta no plano xy. Esta linha é o gráfico da função.
Evidentemente, a natureza do traço irá variar de acordo com a expressão para a função. Assim, obtemos uma variedade de gráficos para diferentes tipos de expressões. Alguns são dados.
Os gráficos de f(x) = sen x, f(x) = x2 e f(x) = ex da esquerda para a direita
Neste ponto, pode-se ver que a expressão para uma função realmente se parece com a de uma equação. E é verdade, por exemplo y = x + 3 é de fato uma equação, bem como uma definição de função. Isso nos traz a pergunta, todas as equações são funções? Se não então
Como saber se uma equação é uma função?
Todas as equações descritas nos gráficos anteriores são na verdade funções, pois para todas elas existe exatamente um valor de f(x) ou y para algum valor de x. Isso significa que a expressão para f(x) deve produzir apenas um valor quando avaliada para qualquer valor de x. Isso vale para qualquer equação linear. Mas se considerarmos a equação y2 = 1-x2, descobrimos que sempre há duas soluções para todo x dentro de 0 a 1, em outras palavras, duas imagens são atribuídas a cada valor de x dentro de seu intervalo. Isso viola a definição de uma função e, portanto, não pode ser chamado de função.
A partir do gráfico, isso deve ficar mais claro que há exatamente duas imagens de cada x, pois uma linha vertical desenhada em qualquer ponto do eixo x cortará o gráfico em exatamente dois pontos.
Então, isso nos leva a uma conclusão importante de que nem todas as equações são funções. E se uma equação é uma função, pode ser verificado pelo teste de linha vertical, que é simplesmente imaginar uma linha vertical variável em cada ponto do eixo xe ver se ela encontra o gráfico em um único ponto.
Isso também responde a outra pergunta importante, que é, como saber se uma função é um para um? Com certeza, essa resposta também está no gráfico e pode ser verificada pelo teste da linha vertical.
Agora, pode-se perguntar se há uma maneira de dizer o mesmo sem obter o gráfico ou se pode ser dito algebricamente, pois nem sempre é fácil desenhar gráficos de funções. Bem, a resposta é sim, isso pode ser feito simplesmente testando f(a)=f(b) implica a=b. Isso quer dizer que mesmo que f(x) tome o mesmo valor para dois valores de x, então os dois valores de x não podem ser diferentes. Tomemos um exemplo da função
y = (x-1) / (x-2)
Como se pode notar, é difícil traçar o gráfico desta função, pois é de natureza não linear e não se encaixa na descrição de nenhuma curva familiar e, além disso, não é definida em x = 2 . Portanto, esse problema definitivamente exige uma abordagem diferente do teste da linha vertical.
Então, começamos deixando
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Isso só é possível para ab=0 ou a=b
Portanto, a função é de fato um para um, e provamos isso sem gráficos.
Agora, gostaríamos de ver quando alguma função falha neste teste. Podemos querer testar a equação do círculo que testamos antes. Começamos escrevendo
f (a) = f (b)
f (x) = x2
=> um2=b2
a2 =b2
=> a = b ou a = -b
O que significa simplesmente que existem outras soluções além de a = b, portanto f (x) não é uma função.
É TÃO DIFÍCIL DE PLOTAR y = (x-1) / (x-2)?
Discutiremos a representação gráfica de uma função com muito mais detalhes nos próximos artigos, mas aqui é necessário se familiarizar com os fundamentos da representação gráfica, pois ela ajuda imensamente na solução de problemas. Uma interpretação visual de um problema de cálculo geralmente torna o problema muito fácil e saber como representar graficamente uma função é a chave para uma boa interpretação visual.
Então, para traçar o gráfico de (x-1) / (x-2), começamos fazendo algumas observações críticas, como
1. A função se torna 0 em x=1.
2. A função torna-se indefinida em x=2 .
3. A função é positiva em todos os lugares, exceto em 1
Como neste intervalo (x-1) é positivo e (x-2) é negativo, isso torna sua proporção negativa.
4. Conforme x vai para -∞, a função se aproxima da unidade do lado inferior, o que significa que ela se aproxima de 1, mas é sempre menor que 1.
Porque para x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 como | x | +2> | x | +1
5. Conforme x vai para + ∞, a função se aproxima da unidade do lado superior, o que significa que ela se aproxima de 1, mas é sempre maior que 1.
6. Conforme x vai para 2 do lado esquerdo, a função vai para -∞.
7. Conforme x vai para 2 do lado direito, a função vai para + ∞.
8. A função está sempre diminuindo para x> 2.
PROVA:
Tomamos dois valores próximos de x como (a, b) tais que (a, b)> 2 e b> a
agora, f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 as (ab) <0 para b> a
e (a-2) (b-2)> 0 como (a, b)> 2
Isso implica f (b) 2, em outras palavras, f (x) é estritamente decrescente para x> 2
- 9. A função está sempre diminuindo para x <2
- PROOF: igual ao anterior. Deixamos para você tentar.
A combinação dessas observações torna a representação gráfica muito fácil. Combinando 4,9 e 6, podemos dizer que conforme x vai de -∞ a 2, o traço começa da unidade e cai gradualmente para tocar 0 em x = 1 e cai ainda mais para -∞ em x = 2. Combinando novamente 7,5 e 8, é fácil ver que conforme x vai de 2 a + ∞, o traço começa a cair de + ∞ e continua se aproximando da unidade, sem nunca tocá-lo de verdade.
Isso faz com que o gráfico completo pareça
Agora fica evidente que a função é de fato um para um.
CONCLUSÃO
Até agora, discutimos os fundamentos da teoria das funções. Devemos agora ter clareza sobre as definições e tipos de funções. Também tínhamos uma pequena ideia da interpretação gráfica das funções. O próximo artigo cobrirá muito mais detalhes sobre conceitos como intervalo e domínio, funções inversas, várias funções e seus gráficos e muitos problemas resolvidos. Para se aprofundar no estudo, você é incentivado a ler
Cálculo de Michael Spivak.
Álgebra de Michael Artin.
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