Processo Isentrópico: Definição, Tipos, Aplicação, Limitação

Tópico de discussão: Processo isentrópico

Definição isentrópica

Um caso típico de processo adiabático que não tem transferência de calor ou matéria através do processo enquanto o entropia do sistema permanece constante é conhecido como processo isentrópico.

O processo termodinâmico onde o entropia do gás ou fluido permanece constante também pode ser cunhado como o processo adiabático reversível. Este tipo de processo, de natureza adiabática e internamente reversível, embora considerado sem atrito, permite ao setor de engenharia vê-lo como um processo idealizado e um modelo para comparação de processos reais.

isentrófico — **Gráfico de processo isentrópico**
Tyler.neysmith, Isentrópico, CC BY-SA 3.0

Idealmente, a entalpia do sistema é usada no processo isentrópico específico, pois as únicas variáveis que mudam são a energia interna dU e volume do sistema ΔV enquanto a entropia permanece inalterada.

A Ts diagrama para um processo isentrópico é plotado com base nas características conhecidas que variam de diferentes estados, como quantidade de pressão e temperatura. Desde,

ΔS = 0 ou s1 = s2

H = U + PV

Eles estão intrinsecamente relacionados com a primeira lei da termodinâmica em termos de medida de entalpia. Uma vez que é reversível e adiabático, as equações formadas seriam as seguintes:

$Reversível \\rightarrow dS=\\int_{1}^{2}\\left ( \\frac{\\delta Q}{T} \\right )_{rev}$

$Adiabático\\rightarrow Q=0 \\Rightarrow dS=0$

Em termos de entalpia,

$dH=dQ+VdP$

Ou,

$dH=TdS+VdP$

A água, os refrigerantes e o gás ideal podem ser derivados usando as equações na forma molar para lidar com a relação entre entalpia e temperatura. Ao mesmo tempo, a entropia específica do sistema permanece inalterada.

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Da equação da entalpia obedecendo à primeira lei da termodinâmica, VDP é considerado um trabalho de processo de fluxo onde um fluxo de massa está envolvido, pois o trabalho é necessário para transferir o fluido para dentro ou para fora dos limites do volume de controle. Esta energia de fluxo (trabalho) é geralmente utilizada para sistemas com diferença de pressão DP, como um sistema de fluxo aberto encontrado em turbinas ou bombas. Ao simplificar a descrição da transferência de energia, conclui-se que a mudança de entalpia é equivalente à energia de fluxo ou ao trabalho de processo realizado no sistema ou pelo sistema com entropia constante.

Para,

$dQ = 0$

$dH=VdP$

$\\rightarrow W=H_{2}-H_{1}$

$\\rightarrow H_{2}-H_{1}=C_{p}\\esquerda ( T_{2}-T_{1} \\direita )$

Processo isentrópico para um gás ideal

Agora, para um gás ideal, o processo isentrópico onde as mudanças de entropia estão envolvidas pode ser representado como:

$\\Delta S=s_{2}-s_{1}$

$=\\int_{1}^{2}C_{v}\\frac{dT}{T}+Rln\\frac{V_{2}}{V_{1}} \\rightarrow \\left ( 1 \ \certo )$

$=\\int_{1}^{2}C_{p}\\frac{dT}{T}-Rln\\frac{P_{2}}{P_{1}} \\rightarrow \\left ( 2 \ \certo )$

$\\Delta S\\rightarrow 0$

$equação \\esquerda ( 1 \\direita )\\rightarrow 0$

$=\\int_{1}^{2}C_{v}\\frac{dT}{T}-Rln\\frac{V_{2}}{V_{1}} \\rightarrow \\left ( 2 \ \certo )$

Integrando e reorganizando,

$C_{v}ln\\frac{T_{2}}{T_{1}}=-Rln\\frac{V_{2}}{V_{1}}$

(isso assumindo calores específicos constantes)

$\\frac{T_{2}}{T_{1}}=\\esquerda ( \\frac{V_{2}}{V_{1}} \\direita )^{\\frac{R}{C_{ v}}}=\\esquerda ( \\frac{V_{2}}{V_{1}} \\direita )^{k-1}$

Onde k é a razão de calor específico

$k=\\frac{C_{p}}{C_{v}}; R=C_{p}-C_{v}$

Agora, configurando

$equação \\esquerda ( 2 \\direita )\\rightarrow 0$

$\\int_{1}^{2}C_{p}\\frac{dT}{T}=Rln\\frac{P_{2}}{P_{1}}$

$\\Rightarrow C_{p}ln\\frac{T_{2}}{T_{1}}=Rln\\frac{P_{2}}{P_{1}}$

$\\Rightarrow \\frac{T_{2}}{T_{1}}=\\esquerda ( \\frac{P_{2}}{P_{1}} \\direita )^{\\frac{R} {C_{p}}}=\\esquerda ( \\frac{P_{2}}{P_{1}} \\direita )^{\\frac{k-1}{k}}$

$combinando relações \\left ( 1 \\right ) e \\left ( 2 \\right )$

$\\esquerda ( \\frac{P_{2}}{P_{1}} \\direita )^{\\frac{k-1}{k}}=\\esquerda ( \\frac{V_{1} }{V_{2}} \\direita)^{k}$

Expressões consolidadas das três relações das equações na forma compacta podem ser projetadas como:

$TV^{k-1}=constante$

$TP^{\\frac{1-k}{k}}=constante$

$PV^{k}=constante$

Se as suposições da constante de calor específico forem inválidas, a mudança de entropia seria:

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$\\Delta S=s_{2}-s_{1}$

$s_{2}^{0}-s_{1}^{0}-Rln\\frac{P_{2}}{P_{1}}\\rightarrow \\left ( 1 \\right )$

$equação\\esquerda ( 1 \\direita )\\rightarrow 0$

$\\frac{P_{2}}{P_{1}}=\\frac{exp\\left ( \\frac{s_{2}^{0}}{R} \\right )}{exp\\ esquerda (\frac{s_{1}^{0}}{R} \\direita)}$

Se o numerador da equação acima for interpretado como a pressão relativa, então:

$\\left ( \\frac{P_{2}}{P_{1}} \\right )_{s}=constante=\\frac{P_{r2}}{P_{r1}}$

Os valores de pressão versus temperatura são tabulados entre si. Portanto, a relação de gás ideal produz:

$\\frac{V_{2}}{V_{1}}=\\frac{T_{2}P_{1}}{T_{1}P_{2}}$

$Substituindo \\rightarrow \\frac{P_{r2}}{P_{r1}}$

$\\esquerda ( \\frac{V_{2}}{V_{1}} \\direita )=\\frac{\\esquerda ( \\frac{T_{2}}{P_{r2}} \\direita )}{\\esquerda ( \\frac{T_{1}}{P_{r1}} \\direita )}$

Definindo o volume específico relativo,

$\\left ( \\frac{V_{2}}{V_{1}} \\right )_{s}=constante=\\frac{V_{r2}}{V_{r1}}$

Derivação de processo isentrópico

A mudança total de energia em um sistema:

$dU=\\delta W+\\delta Q$

Uma condição reversível envolvendo trabalho com pressão é,

Conforme estabelecido anteriormente,

$dH=dU+pdV+Vdp$

Para isentrópico,

$\\delta Q_{rev}=0$

$dS=\\frac{\\delta Q_{rev}}{T}=0$

Agora,

$dU=\\delta W+\\delta Q=-pdV+0,$

$dH=\\delta W+\\delta Q+pdV+Vdp=-pdV+0+pdV+Vdp=Vdp$

Relação de capacidade:

$\\gama =-\\frac{\\frac{dp}{p}}{\\frac{dV}{V}}$

$cp-cv = R$

$1 - \\frac{1}{\\gamma } = \\frac{R}{C_{p}}$

$\\frac{C_{p}}{R} = \\frac{\\gamma }{\\gamma -1}$

$p = r * R * T$

Onde, r = densidade

$ds = \\frac{C_{p}dT}{T} - R \\frac{dp}{p}$

Como dS = 0,

$\\frac{C_{p}dT}{T} = R \\frac{dp}{p}$

Após a substituição da equação PV = rRT na equação acima,

$Cp dT = \frac{dp}{r}$

$\\Rightarrow (\\frac{C_{p}}{r}) d(\\frac{p}{r}) = \\frac{dp}{r}$

Diferenciando,

$(\\frac{C_{p}}{r}) * (\\frac{dp}{r} - \\frac{pdR}{r^{2}}) = \\frac{dP}{r}$

$((\\frac{C_{p}}{r}) - 1) \\frac{dp}{p} = (\\frac{C_{p}}{r}) \\frac{dr}{r} }$

Substituindo a equação gama,

$(\\frac{1}{\\gamma -1}) \\frac{dp}{p} = \\left ( \\frac{\\gamma }{\\gamma -1} \\right )\\ fratura{dr}{r}$

Simplificando a equação:

$\\frac{dp}{p} = \\gama \\frac{dr}{r}$

Integrando,

$\\frac{p}{r^{\\gamma }} = constante$

Para o fluxo colocado em repouso isentropicamente, a pressão total e a densidade que ocorrem podem ser avaliadas como uma constante.

$\\frac{p}{r^{\\gamma }} = \\frac{pt}{rt^{\\gamma }}$

$\\frac{p}{pt} = \\esquerda ( \\frac{r}{rt} \\direita )^{\\gamma }$

pt sendo a pressão total e rt sendo a densidade total do sistema.

$\\frac{rt}{(rt * Tt) } = \\esquerda ( \\frac{r}{rt} \\direita )^{\\gamma }$

$\\frac{T}{Tt} = \\esquerda ( \\frac{r}{rt} \\direita )^{\\gamma -1}$

Agora, combinando as equações:

$\\frac{p}{pt} = \\esquerda ( \\frac{T}{Tt} \\direita )^{\\frac{\\gamma }{\\gamma -1}}$

Equação de trabalho isentrópica

$W=\\int_{1}^{2}PdV=\\int_{1}^{2}\\frac{K}{V^{\\gamma }}dV$

$\\Rightarrow W=\\frac{K}{-\\gamma +1}\\left [ \\frac{V_{2}}{V_{2}^{\\gamma }}-\\frac{V_ {1}}{V_{1}^{\\gamma }} \\direita ]$

$\\Rightarrow W=\\frac{1}{-\\gamma +1}\\left [ \\left ( \\frac{K}{V_{1}^{\\gamma }} \\right )V_ {1}-\\esquerda ( \\frac{K}{V_{2}^{\\gamma }} \\direita )V_{2} \\direita ]$

$\\Rightarrow W=\\esquerda ( \\frac{1}{\\gamma -1} \\direita )\\esquerda [ P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2} \\direita ]$

$\\Rightarrow W=\\esquerda ( \\frac{1}{\\gamma -1} \\direita )\\esquerda [ nRT_{2}-nRT_{1} \\direita ]$

$\\portanto W=\\frac{nR\\left ( T_{2}-T_{1} \\right )}{\\gamma -1}$

Enquanto satisfaz as equações isentrópicas, respectivamente, sob os valores de entalpia e entropia.

Turbina isentrópica e expansão isentrópica

$\\eta _{T}=\\frac{Trabalho real da turbina}{Trabalho da turbina isentrópica}$

$\\Rightarrow \\frac{W_{real}}{W_{s}}$

$\\Rightarrow \\frac{h_{1}-h_{2r}}{h_{1}-h_{2s}}$

Para efeito de cálculos, o processo adiabático para os dispositivos de fluxo constante, como turbinas, compressores ou bombas, é idealmente gerado como um processo isentrópico. Razões específicas são avaliadas para calcular a eficiência de máquinas de fluxo constante, incluindo parâmetros que afetam intrinsecamente o sistema geral do processo.

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Normalmente, a eficiência do dispositivo particular varia de 0.7-0.9, que é sobre 70-90%.

Enquanto,

$\\eta _{C}=\\frac{Trabalho do compressor isentrópico}{Trabalho real do compressor}$

$\\Rightarrow \\frac{W_{s}}{W_{real}}$

$\\Rightarrow \\frac{h_{2s}-h_{1}}{h_{2r}-h_{1}}$

Resumo e conclusão

O processo isentrópico, idealmente conhecido como processo adiabático reversível, é utilizado exclusivamente nos diversos ciclos termodinâmicos, como Carnot, Otto, Diesel, rankine, Brayton ciclo e assim por diante. As numerosas equações matemáticas e tabelas traçadas utilizando os parâmetros do processo isentrópico são basicamente usadas para determinar a eficiência de gases e fluxos de sistemas de natureza estacionária, como turbinas, compressores, bicos, etc.

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