Variável Aleatória Normal: 3 Fatos Importantes

Variável aleatória normal e distribuição normal

      A variável aleatória com um conjunto incontável de valores é conhecida por ser uma variável aleatória contínua, e a função de densidade de probabilidade com a ajuda da integração como a área sob a curva dá a distribuição contínua. Agora vamos focar uma das variáveis ​​aleatórias contínuas mais usadas e frequentes viz variável aleatória normal que tem outro nome como variável aleatória gaussiana ou distribuição gaussiana.

Variável aleatória normal

      A variável aleatória normal é a variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade

tendo maldade μ e variância σ² como os parâmetros estatísticos e geometricamente, a função de densidade de probabilidade tem a curva em forma de sino que é simétrica em relação à média μ.

Sabemos que a função de densidade de probabilidade tem a probabilidade total como um, então

colocando y = (x-μ) / σ

esta dupla integração pode ser resolvida convertendo-a na forma polar

qual é o valor necessário para que seja verificado para a integral I.

• Se X é normalmente distribuído com parâmetro μ  e σ² então Y = aX + b também é normalmente distribuído com os parâmetros aμ + b e a²μ²

Expectativa e variância da variável normal aleatória

O valor esperado da variável aleatória normal e a variância que obteremos com a ajuda de

onde X é normalmente distribuído com a média dos parâmetros μ e desvio padrão σ.

uma vez que a média de Z é zero, então temos a variância como

usando integração por partes

para a variável Z a interpretação gráfica é a seguinte

e a área sob a curva para esta variável Z, que é conhecida como variável normal padrão, é calculado para a referência (dada na tabela), como a curva é simétrica, então para o valor negativo a área será a mesma dos valores positivos

uma vez que usamos a substituição

Aqui, tenha em mente que Z é a variável normal padrão onde, como variável aleatória contínua X é normalmente distribuída variável aleatória normal com média μ e desvio padrão σ.

Portanto, para encontrar a função de distribuição para a variável aleatória, usaremos a conversão para a variável normal padrão como

para qualquer valor de a.

Exemplo: Na curva normal padrão, encontre a área entre os pontos 0 e 1.2.

Se seguirmos a tabela, o valor de 1.2 na coluna 0 é 0.88493 e o valor 0 é 0.5000,

Exemplo: encontre a área para a curva normal padrão entre -0.46 e 2.21.

A partir da região sombreada, podemos bifurcar esta região de -0.46 a 0 e 0 a 2.21 porque a curva normal é simétrica em relação ao eixo y, então a área de -0.46 a 0 é a mesma que é de 0 a 0.46, portanto, da tabela

e

para que possamos escrever como

Área total = (área entre z = -0.46 e z = 0) + (área entre z = 0 e z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Exemplo: Se X é uma variável aleatória normal com média 3 e variância 9, encontre as seguintes probabilidades

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Solução: uma vez que temos

então bifurcando nos intervalos -1/3 a 0 e 0 a 2/3 nós obteremos a solução dos valores tabulares

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

e

Exemplo: Um observador em caso de paternidade afirma que a duração (em dias) do crescimento humano

é normalmente distribuído com parâmetros de média 270 e variância 100. Neste caso, o suspeito que é pai da criança forneceu a prova de que esteve fora do país durante um período que começou 290 dias antes do nascimento da criança e terminou 240 dias antes o nascimento. Encontre a probabilidade de a mãe ter tido a gravidez muito longa ou muito curta indicada pela testemunha?

Deixe X denotar a variável aleatória normalmente distribuída para a gestação e considere que o suspeito é o pai da criança. Nesse caso, o nascimento da criança aconteceu dentro do tempo especificado tem a probabilidade

Relação entre a variável aleatória normal e a variável aleatória binomial

      No caso da distribuição binomial, a média é np e a variância é npq, portanto, se convertermos essa variável aleatória binomial com tal média e desvio padrão tendo n muito grande e p ou q são muito pequenos indo mais perto de zero, então a variável normal padrão Z com o a ajuda dessas médias e variações é

aqui em termos de Julgamentos de Bernouli X considera o número de sucessos em n tentativas. À medida que n aumenta e se aproxima do infinito, essa variável normal vai da mesma maneira para se tornar a variável normal padrão.

A relação da variável binomial e normal padrão podemos encontrar com a ajuda do seguinte teorema.

Teorema do limite DeMoivre Laplace

If S_n denota o número de sucessos que ocorrem quando n  tentativas independentes, cada uma resultando em um sucesso com probabilidade p , são realizados, então, para qualquer a <b,

Exemplo: Com a ajuda da aproximação normal da variável aleatória binomial, encontre a probabilidade de ocorrência de cauda 20 vezes quando uma moeda justa foi lançada 40 vezes.

Alternativa? Suponha que a variável aleatória X represente a ocorrência de cauda, ​​uma vez que a variável aleatória binomial é uma variável aleatória discreta e a variável aleatória normal é uma variável aleatória contínua, então para converter a discreta em contínua, nós a escrevemos como

e se resolvermos o exemplo dado com a ajuda da distribuição binomial, iremos obtê-lo como

Exemplo: Para decidir a eficácia de uma nutrição definitiva em diminuir a extensão do colesterol na circulação sanguínea, 100 pessoas são colocadas na nutrição. A contagem de colesterol foi observada por tempo definido após o fornecimento da nutrição. Se, dessa amostra, 65 por cento tiverem contagem baixa de colesterol, a nutrição será aprovada. Qual a probabilidade de o nutricionista aprovar a nova alimentação se, na verdade, ela não tem consequências no nível de colesterol?

solução:  Deixe a variável aleatória expressar o nível de colesterol se for reduzido pela nutrição, então a probabilidade para tal variável aleatória será ½ para cada pessoa, se X denota o número de pessoas de baixo nível, então a probabilidade de que o resultado seja aprovado mesmo que não haja efeito da nutrição para reduzir o nível de colesterol é

Conclusão:

   Neste artigo, o conceito de variável aleatória contínua é normal variável aleatória e sua distribuição com função de densidade de probabilidade foram discutidas e a média do parâmetro estatístico, variância para a variável aleatória normal é dada. A conversão da variável aleatória normalmente distribuída para a nova variável normal padrão e área sob a curva para tal variável normal padrão é dada na forma tabulada um dos relação com variável aleatória discreta também é mencionada com exemplo , se você quiser ler mais, então vá por:

Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

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Dr. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.