Ilustração do conceito de Permutações e Combinações pelos exemplos
Neste artigo, discutimos alguns exemplos que tornarão a base sólida dos alunos em Permutações e Combinações para obter o esclarecimento do conceito, está bem ciente de que as Permutações e combinações são o processo para calcular as possibilidades, a diferença entre eles é se a ordem importa ou não, então aqui, passando pelo número de exemplos, obteremos esclarecer a confusão de onde usar qual.
Os métodos de organizar ou selecionar um número pequeno ou igual de pessoas ou itens por vez de um grupo de pessoas ou itens fornecidos com a devida consideração para serem organizados em ordem de planejamento ou seleção são chamados permutações.
Cada grupo ou seleção diferente que pode ser criado pegando alguns ou todos os itens, não importa como estejam organizados, é chamado de combinação.
Permutação básica (fórmula nPr) Exemplos
Aqui estamos formando um grupo de n objetos diferentes, selecionados r em um momento equivalente a preencher r lugares a partir de n coisas.
O número de maneiras de organizar = O número de maneiras de preencher r lugares.
nPr = n. (n-1). (n-2)…(nr+1) = n/(nº)!
so fórmula nPr nós temos que usar é
nPr = n!/(nr)!
Exemplo 1): Há um trem cujos 7 assentos são mantidos vazios, então de quantas maneiras três passageiros podem sentar.
solução: aqui n = 7, r = 3
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
7P3 = 7!/(7-3)! = 4!.5.6.7/4! = 210
De 210 maneiras, 3 passageiros podem sentar.
Exemplo 2) De quantas maneiras 4 pessoas em cada 10 mulheres podem ser escolhidas como líderes de equipe?
solução: aqui n = 10, r = 4
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
10P4 = 10!/(10-4)! = 6!7.8.9.10/6! = 5040
De 5040 maneiras, 4 mulheres podem ser escolhidas como líderes de equipe.
Exemplo 3) Quantas permutações são possíveis a partir de 4 letras diferentes, selecionadas das XNUMX letras do alfabeto?
solução: aqui n = 26, r = 4
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
26P4 = 26!/(26-4)! = 22!.23.24.25.26/22! = 358800
Em 358800 maneiras, 4 diferentes permutações de letras estão disponíveis.
Exemplo 4) Quantas permutações diferentes de três dígitos estão disponíveis, selecionadas a partir de dez dígitos de 0 a 9 combinados (incluindo 0 e 9).
solução: aqui n = 10, r = 3
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
10P3 = 10!/(10-3)! = 7!.8.9.10/7! = 720
Em 720 maneiras, permutações de três dígitos estão disponíveis.
Exemplo 5) Descubra o número de maneiras pelas quais um juiz pode atribuir um primeiro, segundo e terceiro lugar em uma competição com 18 competidores.
solução: aqui n = 18, r = 3
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
18P3 = 18!/(18-3)! = 15!.16.17.18/15! = 4896
Entre os 18 competidores, em 4896 modalidades, um juiz pode atribuir um 1º, 2º e 3º lugar em um concurso.
Exemplo
6) Encontre o número de maneiras, 7 pessoas podem se organizar em uma fileira.
solução: aqui n = 7, r = 7
então número necessário de maneiras =
nPr = n!/(nr)!
7P7 = 7!/(7-7)! = 7!/0! = 5040
Em 5040 várias maneiras, 7 pessoas podem se organizar em uma fileira.
Exemplos baseados em combinação (fórmula nCr / n escolher fórmula k)
O número de combinações (seleções ou grupos) que podem ser configuradas a partir de n objetos diferentes tomados r (0 <= r <= n) de cada vez é
Isso é comumente conhecido como nCr ou n escolha a fórmula k.
nCk = n!/k!(nk)!
Exemplos:
1) Se você tem três vestidos com cores diferentes em vermelho, amarelo e branco, você pode encontrar uma combinação diferente para obter se tiver que escolher qualquer um deles?
Solução: aqui n = 3, r = 2 isso é 3 ESCOLHA 2 problema
nCr = n!/r!(nº)!
3C2 = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3
Em 3 combinações diferentes, você obtém dois deles.
2) Quantas combinações diferentes podem ser feitas se você tiver 4 itens diferentes e precisar escolher 2?
Solução: aqui n = 4, r = 2 isso é 4 ESCOLHA 2 problema
nCr = n!/r!(nº)!
4C2 = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6
Em 6 combinações diferentes, você obtém dois deles.
3) Quantas combinações diferentes podem ser feitas se você tiver apenas 5 caracteres e precisar escolher qualquer 2 entre eles?
Solução: aqui n = 5, r = 2 isso é 5 ESCOLHA 2 problema
nCr = n!/r!(nº)!
5C2 = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10
Em 10 combinações diferentes, você obtém dois deles.
4) Encontre o número de combinações 6 escolha 2.
Solução: aqui n = 6, r = 2 isso é 6 ESCOLHA 2 problema
nCr = n!/r!(nº)!
6C2 = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15
Em 15 combinações diferentes, você obtém dois deles.
5) Encontre o número de maneiras de escolher 3 membros de 5 parceiros diferentes.
Solução: aqui n = 5, r = 3 isso é 5 ESCOLHA 3 problema
nCr = n!/r!(nº)!
5C3 = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10
Em 10 combinações diferentes, você obtém três deles.
6) Caixa de lápis de cor sendo vermelho, azul, amarelo, laranja, verde e roxo. Quantas maneiras diferentes você pode usar para desenhar apenas três cores?
Solução: aqui n = 6, r = 3 isso é 6 ESCOLHA 3 problema
nCr = n!/r!(nº)!
6C3 = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20
Em 20 combinações diferentes, você obtém três deles.
7) Encontre o número de combinações para 4, escolha 3.
Solução: aqui n = 4, r = 3 isso é 4 ESCOLHA 3 problema
nCr = n!/r!(nº)!
4C3 = 4!/3!(4-3)! = 3!.4/3!.1! = 4
Em 4 combinações diferentes, você obtém três deles.
8) Quantos comitês diferentes de cinco pessoas podem ser eleitos de 10 pessoas?
Solução: aqui n = 10, r = 5 isso é 10 ESCOLHA 5 problemas
nCr = n!/r!(nr)!
10C5 = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!.5! = 5!.6.7.8.9.10/5!.5.4.3.2 = 7.4.9 =252
Assim, 252 comitês diferentes de 5 pessoas podem ser eleitos de 10 pessoas.
9) São 12 jogadores de vôlei no total na faculdade, que serão formados por um time de 9 jogadores. Se o capitão continuar consistente, a equipe pode ser formada de várias maneiras.
Solução: aqui como o capitão já foi selecionado, agora entre 11 jogadores 8 devem ser escolhidos n = 11, r = 8 este é 11 ESCOLHA 8 problema
nCr = n!/r!(nº)!
11C8 = 11!/8!(11-8)! = 11!/8!.3! = 8!.9.10.11/8!.3.2.1 = 3.5.11 = 165
Portanto, se o capitão continuar consistente, a equipe pode ser formada de 165 maneiras.
10) Encontre o número de combinações 10 escolha 2.
Solução: aqui n = 10, r = 2 isso é 10 ESCOLHA 2 problema
nCr = n!/r!(nº)!
10C2 = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9 = 45
Em 45 combinações diferentes, você obtém dois deles.
Temos que ver a diferença de que nCr é o número de maneiras pelas quais as coisas podem ser selecionadas de maneiras r e nPr é o número de maneiras pelas quais as coisas podem ser classificadas por meio de r. Devemos ter em mente que para qualquer caso de cenário de permutação, a forma como as coisas estão dispostas é muito importante. No entanto, em Combination, a ordem não significa nada.
Conclusão
Uma descrição detalhada com exemplos de permutações e combinações foi fornecida neste artigo com alguns exemplos da vida real, em uma série de artigos iremos discutir em detalhes os vários resultados e fórmulas com exemplos relevantes se você estiver interessado em um estudo mais aprofundado, vá até isto link.
Referência
- ESBOÇO DE TEORIA E PROBLEMAS DA MATEMÁTICA DISCRETA DE SCHAUM
- https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
- https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
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