Permutações e Combinações
Permutações e Combinações, este artigo discutirá o conceito de determinar, além do cálculo direto, o número de resultados possíveis de um determinado evento ou o número de itens definidos, permutações e combinações que são o principal método de cálculo na análise combinatória.
Erros comuns ao aprender permutações e combinações
Há sempre confusão entre o aluno entre permutações e combinações porque ambos estão relacionados ao número de arranjos de objetos diferentes e ao número de resultados possíveis de um determinado evento ou número de maneiras de obter um elemento de um conjunto. O tópico de permutação e combinação com exemplos e a diferença entre eles com justificativa será discutida aqui.
Uma técnica simples e prática para lembrar a diferença entre o permutações e combinações é: uma permutação está relacionada com a ordem significa que a posição é importante na permutação enquanto a combinação não está relacionada com a ordem significa que a posição não é importante na combinação.
Antes da discussão de permutações e combinações, exigimos alguns pré-requisitos, que são usados com frequência.
O que é fatorial
Fatorial é o produto dos inteiros positivos de 1 an (contando 1 e n) denotados por n! e lido como n fatorial é descrito abaixo
n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nº)!
Cuidado, 0! = 1
0! = 1
1! = 1
n! = n(nl)!
por exemplo, 3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4! = 5.24 = 120
Métodos de contagem (princípio de multiplicação e adição)
Princípio de adição: Se dois eventos não puderem acontecer ao mesmo tempo, então um dos eventos pode acontecer em
n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・ .ways
Princípio de Multiplicação: Considerando que se os eventos ocorreram um após o outro, então todos os eventos podem acontecer na ordem indicada em:
n1.n2.n3...maneiras
Exemplo: Se um Instituto tem 7 cursos de arte diferentes, 3 cursos técnicos e 4 cursos físicos diferentes.
Se um aluno quiser se inscrever em um de cada tipo de curso, o número de formas será
m = 7.3.4 = 84
Se um aluno quiser se inscrever em apenas um dos cursos, o número de maneiras será
n = 7 + 3 + 4 = 14
O que é permutação
Os diferentes posicionamentos dos objetos são chamados Permutações, onde a ordem do arranjo é importante. Qualquer posicionamento de um conjunto de n objetos diferentes em uma determinada ordem são chamados de permutação do objeto.
Considere um exemplo do conjunto de letras {P, Q, R, S}, então
Algumas das permutações dos quatro alfabetos considerados 4 de relance são QSRP, SRQP e PRSQ
Qualquer ordenação de qualquer r <= n desses objetos particulares em uma ordem específica é chamada de “r-permutaçãoouuma permutação do Não.bjetos tomados r de uma vez.
Basicamente, gostamos desse número de permutações sem defini-las.
Exemplo de fórmula de permutação
O número de permutações de n objetos diferentes tomados r de uma vez será indicado por
nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(n-r)!
Em matemática, isso é denotado de maneiras diferentes, algumas delas são mencionadas a seguir:
P (n, r), nPr, Pn, r, ou (n) r
EXEMPLO: Calcule o número m de permutações de seis objetos, digamos A, B, C, D, E, F tomados três em um relance.
Solução: aqui n = 6, r = 3, m =?
nPr = n!/(nr)!
m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120
Então m = 120
EXEMPLO: Quantas palavras podem ser geradas usando 2 letras da palavra “MATHS”?
Solução: aqui n = 5, r = 2, m =?
nPr = n!/(nr)!
m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20
portanto, o número necessário de palavras é 20.
O que você entende por combinação?
A combinação para n elementos diferentes tomados r de uma vez é qualquer seleção de r-ésimos elementos em que as ordens não estão sendo consideradas. Essa seleção é chamada de combinação r. Em resumo, um Densidades é uma seleção na qual a ordem dos objetos selecionados não é importante.
A Densidades fornece o número de maneiras pelas quais um determinado conjunto pode ser organizado, em que a ordem da disposição não importa.
Para entender a situação da Combinação, considere o exemplo
Vinte pessoas chegam em um corredor e todos apertam a mão de todos os outros. Como podemos obter o número de apertos de mão? “A” apertar a mão de B e B de A não serão dois apertos de mão diferentes. Aqui, a ordem do aperto de mão não é importante. O número de apertos de mão será a combinação de 20 coisas diferentes tomadas 2 de cada vez.
Fórmula de combinação com um exemplo simples
O número de tais combinações será denotado por
Às vezes, também é denotado por C (n, r), nCr Cn, r ou Crn
Exemplo: Uma classe contém 10 alunos, sendo 6 homens e 4 mulheres. Encontre o número n de maneiras de escolher um comitê de 4 membros entre esses alunos.
Isso está relacionado a combinações, não permutações, uma vez que a ordem não é um fator importante em um comitê. Existem “10 escolha 4” desses comitês. Isso é:
aqui n = 10, r = 4
então, de 210 maneiras, podemos escolher esse comitê de 4 membros.
Exemplo: Um recipiente tem 6 bolas azuis e 8 bolas vermelhas. Identifique o número de maneiras pelas quais duas bolas de qualquer uma das cores podem ser retiradas do recipiente.
Aqui, possivelmente, “14 escolhem 2” maneiras de selecionar 2 das 14 bolas. Assim:
Aqui n = 14, r = 2
então, de 91 maneiras, duas bolas podem ser desenhadas de qualquer cor.
Diferença entre permutação e combinação
A diferença entre permutação vs combinação é brevemente fornecida aqui
| Permutação | Densidades |
| O pedido é importante | A ordem não é importante |
| Contagens de pedidos | O pedido não conta |
| Usado para arranjos como eleição de presidente, vice-presidente e tesoureiro | Usado para seleção, como selecionar equipes e comitês sem cargos |
| Para eleger a primeira, segunda e terceira posições específicas | Para selecionar quaisquer três |
| Para organizar as cartas ou bolas com posição e cor | Para selecionar qualquer cor e posição |
Onde aplicar permutações e combinações
Este é o passo importante que deve ser mantido em mente que sempre que a situação for de arranjo, ordenação e exclusividade, devemos usar Permutação e sempre que a situação for de seleção, escolha, separação e combinação sem a preocupação de ordem temos que usar Combinação. E se Se você mantiver esses princípios básicos em mente, não haverá confusão "o que usar e o que não" sempre que surgir uma dúvida.
Uso de permutações e combinações na vida real com exemplos
Na vida real, a permutação e a combinação são usadas em quase todos os lugares porque sabemos que na vida real haveria uma situação em que a ordem é importante e em algum lugar a ordem não é importante, nessas situações temos que usar o método correspondente.
Por exemplo
Encontre o número N de times de 11 com um determinado capitão que pode ser selecionado entre 26 jogadores.
Perguntas freqüentes - FAQs
O que é fatorial?
O produto dos inteiros positivos de 1 a n (incluindo 1 e n)
n! = 1.2.3… (n-2). (n-1). n
O que é uma permutação?
As diferentes ordens dos objetos são chamadas permutações
O que é uma combinação?
A Densidades fornece o número de maneiras pelas quais um conjunto específico pode ser estabelecido, em que a ordem do arranjo não importa.
Aplicação de permutações e combinações na vida prática
Uma Permutação é usada para organizar ou selecionar listas onde a ordem é importante, e Combinação é usada para selecionar ou escolher onde a ordem não é importante.
Fórmula de permutação
nPr = n!/(nr)!
Fórmula de combinação
Existe alguma relação entre permutações e combinações?
Sim,
nCr = nPr/r!
Podemos usar permutações e combinações na vida real?
Sim,
No arranjo de palavras, alfabetos, números, posições e cores, etc., onde a ordem é importante, a permutação será usada
Na seleção de comitês, equipes, cardápio e disciplinas, etc., onde a ordem não é importante, serão utilizadas combinações.
As breves informações sobre permutações e combinações com a fórmula básica é dada lida duas ou três vezes até se ter uma ideia sobre o conceito, em artigos consecutivos discutiremos em detalhes os diferentes resultados e fórmulas com exemplos adequados de permutações e combinações. Se você quiser estudar mais, vá para:
Para mais tópicos sobre matemática, siga este link.
Referências:
1. ESBOÇO DE TEORIA E PROBLEMAS DA MATEMÁTICA DISCRETA DO SCHAUM
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
5. https://www.cs.bgu.ac.il/
Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.
Olá caro leitor,
Somos uma equipe pequena na Techiescience, trabalhando duro entre os grandes players. Se você gostou do que viu, compartilhe nosso conteúdo nas redes sociais. Seu apoio faz uma grande diferença. Obrigado!