Esta é uma postagem sequencial relacionada a Geometria coordenada, especialmente em Points. Já discutimos alguns tópicos no início do post “Um guia completo para coordenar geometria”. Nesta postagem, discutiremos os tópicos restantes.

Fórmulas básicas de pontos em geometria coordenada em 2D:

Todas as fórmulas básicas sobre pontos em Geometria Analítica são descritas aqui e para um aprendizado rápido e fácil sobre as fórmulas a 'Tabela de Fórmulas em Pontos' com explicação gráfica é apresentada abaixo.

Fórmulas de distância de dois pontos | Geometria Analítica:

Distância é uma medida para descobrir a que distância os objetos, lugares, etc. estão uns dos outros. Possui um valor numérico com unidades. Na geometria coordenada ou geometria analítica em 2D, existe uma fórmula que é derivada do teorema de Pitágoras, para calcular a distância entre dois pontos. podemos escrever como 'Distância' d = √ [(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²] , Onde (x₁,y₁) e (x₂,y₂) são dois pontos no plano xy. Uma breve explicação gráfica é seguida por 'Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 1' abaixo.

A distância de um ponto desde a origem | Geometria coordenada:

Se começarmos nossa jornada com a Origem no plano xy e terminarmos em qualquer ponto desse plano, a distância entre a origem e o ponto também pode ser encontrada por uma fórmula, 'Distância' OP = √ (x²+ e²), que também é uma forma reduzida da “fórmula de distância de dois pontos” com um ponto em (0,0). Uma breve explicação gráfica é seguida por 'Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 2' abaixo.

Fórmulas de seção de pontos | Geometria coordenada:

Se um ponto divide um segmento de linha unindo dois pontos dados em alguma proporção, podemos usar fórmulas de seção para encontrar as coordenadas daquele ponto enquanto a proporção pela qual o segmento de linha é dividido é fornecida e vice-versa. Existe a possibilidade de que o segmento de linha possa ser dividido interna ou externamente pelo ponto. Quando o ponto está no segmento de linha entre os dois pontos dados, as fórmulas da seção interna são usadas, ou seja,

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

E quando o ponto fica na parte externa do segmento de linha que une os dois pontos dados, as fórmulas de seção externa são usadas, ou seja,

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Onde (x, y) é suposto ser as coordenadas necessárias do ponto. Estas são fórmulas muito necessárias para encontrar o centróide, incentivos, circuncentro de um triângulo, bem como o centro de massa dos sistemas, pontos de equilíbrio, etc. na física. Deve-se observar a visão resumida de diferentes tipos de fórmulas de seção com os gráficos fornecidos abaixo no 'Tabela de Fórmulas sobre Pontos tópico nº 3; caso-I e caso-II '.

Fórmula de ponto médio | geometria coordenada:

É uma fórmula fácil derivada das fórmulas de seção de pontos internos descritas acima. Embora precisemos encontrar o ponto médio de um segmento de linha, isto é, a coordenada do ponto que é equidistante dos dois pontos dados no segmento de linha, ou seja, a proporção obtém a forma 1: 1, então esta fórmula é necessária. A fórmula está na forma de

Se um ponto divide um segmento de linha unindo dois pontos dados em alguma proporção, podemos usar fórmulas de seção para encontrar as coordenadas daquele ponto enquanto a proporção pela qual o segmento de linha é dividido é fornecida e vice-versa. Existe a possibilidade de que o segmento de linha possa ser dividido interna ou externamente pelo ponto. Quando o ponto está no segmento de linha entre os dois pontos dados, as fórmulas da seção interna são usadas, ou seja,

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

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$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

E quando o ponto fica na parte externa do segmento de linha que une os dois pontos dados, as fórmulas de seção externa são usadas, ou seja,

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Fórmula de ponto médio | geometria coordenada:

É uma fórmula fácil derivada das fórmulas de seção de pontos internos descritas acima. Embora precisemos encontrar o ponto médio de um segmento de linha, isto é, a coordenada do ponto que é equidistante dos dois pontos dados no segmento de linha, ou seja, a proporção obtém a forma 1: 1, então esta fórmula é necessária. A fórmula está na forma de

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Passar pela “Tabela de Fórmulas sobre Pontos tópico nº 3 caso-III ' abaixo para ter uma ideia gráfica sobre isso.

Área de um triângulo na geometria coordenada:

Um triângulo tem três lados e três vértices no plano ou no campo bidimensional. A área do triângulo é o espaço interno rodeado por esses três lados. A fórmula básica do cálculo da área de um triângulo é (2/1 X Base X Altura). Na geometria analítica, se as coordenadas de todos os três vértices são dadas, a área do triângulo pode ser facilmente calculada pela fórmula, Área do Triângulo = | ½ [x₁ (y₂- y₃ ) + x₂ (y₃- y₂) + x₃ (y₂-y ₁)] | , na verdade, isso pode ser derivado da fórmula básica da área de um triângulo usando a fórmula de distância de dois pontos na geometria coordenada. Ambos os casos são descritos graficamente no 'Tabela de Fórmulas sobre Pontos tópico 4' abaixo.

Colinearidade de pontos (três pontos) | Geometria coordenada:

Colinear significa 'estar na mesma linha'. Em geometria, se três pontos estão em uma única linha no plano, eles nunca podem formar um triângulo com área diferente de zero, ou seja, se a fórmula da área do triângulo é substituída pelas coordenadas dos três pontos colineares, o resultado para a área de o triângulo imaginário formado por esses pontos terminará apenas com zero. Então, a fórmula se torna como ½ [x₁ (y₂- y₃ ) + x₂ (y₃- y₂) + x₃ (y₂-y ₁)] = 0 Para uma ideia mais clara com representação gráfica, vá até o “Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 5” abaixo.

Centróide de um triângulo | Fórmula :

As três medianas * de um triângulo sempre se cruzam em um ponto, localizado no interior do triângulo e divide a mediana na proporção 2: 1 de qualquer vértice até o ponto médio do lado oposto. Este ponto é denominado centróide do triângulo. A fórmula para encontrar as coordenadas do centróide é

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

No “Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 6” abaixo, o assunto acima é descrito graficamente para melhor compreensão e para uma visualização rápida.

Incentivo de um triângulo | Fórmula:

É o centro do maior incircle do triângulo que se encaixa dentro do triângulo. É também o ponto de intersecção das três bissetoras dos ângulos internos do triângulo. A fórmula usada para encontrar o incentivo de um triângulo é

$x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}$

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$x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}$

No “Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 6” abaixo, o assunto acima é descrito graficamente para melhor compreensão e para uma visualização rápida.

Para uma explicação gráfica fácil, o seguinte “Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 7” é necessário ver.

Fórmula de mudança de origem | Geometria coordenada:

Já aprendemos na postagem anterior “Um guia completo para coordenar geometria” que a origem está no ponto (0,0) que é o ponto de intersecção dos eixos no plano. podemos mover a origem em todos os quadrantes do plano em relação à origem, o que dará um novo conjunto de eixos através dela.

Para alguns pontos no referido plano, suas coordenadas mudarão junto com a nova origem e eixos e isso pode ser calculado pela fórmula, novas coordenadas de um ponto P (x₁,y₁) e guarante que os mesmos estão x₁= x- a; y₁ = s- b onde as coordenadas da nova origem são (a, b). Para ter um entendimento claro sobre este assunto é preferível ver a representação gráfica abaixo no “Tabela de Fórmulas sobre Pontos Tópico nº 8” .

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`:

﹡ Circuncentro de um triângulo:

É o ponto de intersecção de três bissetores perpendiculares do lado de um triângulo. É também o centro da circunferência de um triângulo, que apenas toca os vértices do triângulo.

﹡ Medianas:

Mediana é o segmento de linha que une o vértice do triângulo ao ponto médio ou ao ponto, dividindo o lado oposto do vértice. Cada triângulo tem três medianas que sempre se cruzam no centroide do mesmo triângulo.

Problemas resolvidos em pontos na geometria coordenada em 2D.

Para um melhor aprendizado sobre os pontos em 2D, um exemplo básico é resolvido aqui passo a passo e para a prática por conta própria existem mais problemas com as respostas de cada fórmula. Deve haver problemas desafiadores com solução nos próximos artigos logo após se obter uma ideia básica e clara sobre o tópico de pontos na geometria de coordenadas 2D.

Exemplos básicos nas fórmulas “A distância entre dois pontos”

Problema 1: Calcule a distância entre os dois pontos dados (1,2) e (6, -3).

Alternativa? Já sabemos, a fórmula da distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) is d = √ [(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²] ... (1)

(Veja a tabela de fórmulas acima) Aqui, podemos assumir que (x₁,y₁) ≌ (1,2) e (x₂,y₂) ≌ (6, -3), ou seja, x₁= 1, y₁= 2 e x₂= 6, y₂ = -3, Se colocarmos todos esses valores na equação (1), obtemos a distância necessária.

Portanto, a distância entre os dois pontos (1,2) e (6, -3) é

= √ [(6-1)²+ (- 3-2)²] unidades

= √ [(5)²+ (- 5)²] unidades

= √ [25 + 25] unidades

= √ [50] unidades

= √ [2 × 5²] unidades

= 5√2 unidades (Resp.)

Observação: A distância é sempre seguida por algumas unidades.

Mais problemas respondidos (Básico) são fornecidos abaixo para prática adicional usando o procedimento descrito acima problema 1:-

Problema 2: Encontre a distância entre os dois pontos (2,8) e (5,10).

Resp. √unidades 13

Problema 3: Encontre a distância entre os dois pontos (-3, -7) e (1, -10).

Resp. unidades 5

Problema 4: Encontre a distância entre os dois pontos (2,0) e (-3,4).

Resp. √unidades 41

Problema 5: Encontre a distância entre os dois pontos (2, -4) e (0,0).

Resp. 2√unidades 5

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Problema 6: Encontre a distância entre os dois pontos (10,100) e (-10,100,).

Resp. unidades 20

Problema 7: Encontre a distância entre os dois pontos (√5,1) e (2√5,1).

Resp. √5 unidades

Problema 8: Encontre a distância entre os dois pontos (2√7,2) e (3√7, -1).

Resp. 4 unidades

Problema 9: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + √10, 0) e (2-√10, 0).

Resp. 2√10 unidades

Problema 10: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + 3i, 0) e (2-3i, 10). {i = √-1}

Resp. unidades 8

Problema 11: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + i, -5) e (2-i, -7). {i = √-1}

Resp. 0 unidades

Problema 12: Encontre a distância entre os dois pontos (7 + 4i, 2i) e (7-4i, 2i). {i = √-1}

Resp. 8i unidades

Problema 13: Encontre a distância entre os dois pontos (√3 + i, 3) e (2√3 + i, 5). {i = √-1}

Resp. √7 unidades

Problema 14: Encontre a distância entre os dois pontos (5 + √2, 3 + i) e (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1}

Resp. 2√ (6 + 2i) unidades

Exemplos básicos nas fórmulas “A distância de um ponto da origem”

Problemas 15: Encontre a distância de um ponto (3,4) da origem.

Alternativa?

Temos a fórmula da distância de um ponto da origem, OP = √ (x²+ e²) (Veja a tabela de fórmulas acima) Então, aqui podemos assumir (x, y) ≌ (3,4) ou seja, x = 3 ey = 4

Portanto, colocando esses valores de x e y na equação acima, obtemos a distância necessária

=√ (3²+ 4²) unidades

= √ (9+ 16) unidades

= √ (25) unidades

= 5 unidades

Nota: a distância é sempre seguida por algumas unidades.

Nota: A distância de um ponto da origem é na verdade a distância entre o ponto e o ponto de origem, isto é (0,0)

Mais problemas respondidos são fornecidos abaixo para prática adicional usando o procedimento descrito acima

Problema 15:-

Problema 16: Encontre a distância de um ponto (1,8) da origem.

Resp. √unidades 65

Problema 17: Encontre a distância de um ponto (0,7) da origem.

Resp. 7 unidades

Problema 18: Encontre a distância de um ponto (-3, -4) da origem.

Resp. 5 unidades

Problema 19: Encontre a distância de um ponto (10,0) da origem.

Resp. 10 unidades

Problema 20: Encontre a distância de um ponto (0,0) da origem.

Resp. 0 unidades

___________________________________________________________

Exemplos básicos em outras fórmulas de pontos acima descrito e algumas perguntas desafiadoras neste tópico na geometria coordenada, são seguidos pelos próximos posts.

NASRINA PARVIN

Olá… eu sou Nasrina Parvin. Concluí minha Graduação em Matemática, tendo 10 anos de experiência trabalhando no Ministério de comunicação e tecnologia da informação da Índia. No meu tempo livre, adoro ensinar e resolver problemas de matemática. Desde a minha infância, Matemática é a única matéria que mais me fascinou.

Fórmulas básicas de pontos em geometria coordenada em 2D:

Fórmulas de distância de dois pontos | Geometria Analítica:

A distância de um ponto desde a origem | Geometria coordenada:

Fórmulas de seção de pontos | Geometria coordenada:

Fórmula de ponto médio | geometria coordenada:

Fórmula de ponto médio | geometria coordenada:

Área de um triângulo na geometria coordenada:

Colinearidade de pontos (três pontos) | Geometria coordenada:

Centróide de um triângulo | Fórmula :

Incentivo de um triângulo | Fórmula:

Fórmula de mudança de origem | Geometria coordenada:

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

﹡ Circuncentro de um triângulo:

﹡ Medianas:

Problemas resolvidos em pontos na geometria coordenada em 2D.

Exemplos básicos nas fórmulas “A distância entre dois pontos”

Problema 1: Calcule a distância entre os dois pontos dados (1,2) e (6, -3).

Mais problemas respondidos (Básico) são fornecidos abaixo para prática adicional usando o procedimento descrito acima problema 1:-

Problema 2: Encontre a distância entre os dois pontos (2,8) e (5,10).

Problema 3: Encontre a distância entre os dois pontos (-3, -7) e (1, -10).

Problema 4: Encontre a distância entre os dois pontos (2,0) e (-3,4).

Problema 5: Encontre a distância entre os dois pontos (2, -4) e (0,0).

Problema 6: Encontre a distância entre os dois pontos (10,100) e (-10,100,).

Problema 7: Encontre a distância entre os dois pontos (√5,1) e (2√5,1).

Problema 8: Encontre a distância entre os dois pontos (2√7,2) e (3√7, -1).

Problema 9: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + √10, 0) e (2-√10, 0).

Problema 10: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + 3i, 0) e (2-3i, 10). {i = √-1}

Problema 11: Encontre a distância entre os dois pontos (2 + i, -5) e (2-i, -7). {i = √-1}

Problema 12: Encontre a distância entre os dois pontos (7 + 4i, 2i) e (7-4i, 2i). {i = √-1}

Problema 13: Encontre a distância entre os dois pontos (√3 + i, 3) e (2√3 + i, 5). {i = √-1}

Problema 14: Encontre a distância entre os dois pontos (5 + √2, 3 + i) e (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1}

Exemplos básicos nas fórmulas “A distância de um ponto da origem”

Problemas 15: Encontre a distância de um ponto (3,4) da origem.

Mais problemas respondidos são fornecidos abaixo para prática adicional usando o procedimento descrito acima

Problema 15:-

Problema 16: Encontre a distância de um ponto (1,8) da origem.

Problema 17: Encontre a distância de um ponto (0,7) da origem.

Problema 18: Encontre a distância de um ponto (-3, -4) da origem.

Problema 19: Encontre a distância de um ponto (10,0) da origem.

Problema 20: Encontre a distância de um ponto (0,0) da origem.

Exemplos básicos em outras fórmulas de pontos acima descrito e algumas perguntas desafiadoras neste tópico na geometria coordenada, são seguidos pelos próximos posts.

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`: