Função de massa de probabilidade: 5 exemplos

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Variável Aleatória Discreta e Expectativa Matemática-II

Como já estamos familiarizados com o variável aleatória discreta, é a variável aleatória que leva o número contável de valores possíveis em uma sequência. Os dois conceitos importantes relacionados às variáveis ​​aleatórias discretas são a probabilidade de variável aleatória discreta e função de distribuição. Restringimos o nome a tal probabilidade e função de distribuição como,

Função de massa de probabilidade (pmf)

                A Função de massa de probabilidade é a probabilidade da variável aleatória discreta, portanto, para qualquer variáveis ​​aleatórias discretas  x1, x2, x3, x4, ……, xk  as probabilidades correspondentes P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) são as funções de massa de probabilidade correspondentes.

Especificamente, para X = a, P (a) = P (X = a) é seu pmf

Nós aqui em diante usamos função de massa de probabilidade para variáveis ​​aleatórias discretas probabilidade. Todas as características de probabilidade para a probabilidade serão obviamente aplicáveis ​​à função de massa de probabilidade, como positividade e soma de todas as pmf serão uma etc.

Função de distribuição cumulativa (cdf) / Função de distribuição

  A função de distribuição definida como

F (x) = P (X <= x)

para variável aleatória discreta com função de massa de probabilidade é a função de distribuição cumulativa (cdf) da variável aleatória.

e expectativa matemática para tal variável aleatória nós definimos foi

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agora vemos alguns dos resultados das expectativas matemáticas

  1. Se x1, x2, x3, x4, ... .. são as variáveis ​​aleatórias discretas com respectivas probabilidades P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ... a expectativa para a função com valor real g será
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Exemplo: para as seguintes funções de massa de probabilidade, encontre o E (X3)

função de massa de probabilidade

Aqui o g (X) = X3

então,

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E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3

E (X3) = 0.1

Da mesma forma para qualquer enésima ordem, podemos escrever

CodeCogsEqn 13

Que é conhecido como enésimo momento.

2. Se a e b são constantes, então

E [aX + b] = aE [X] + b

Isso podemos entender facilmente como

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= aE [X] + b

Variação em termos de expectativa.

                Para a média denotada por μ, a variância da variável aleatória discreta X denotada por var (X) ou σ em termos de expectativa será

Var (X) = E [(X- μ)2]

e isso podemos simplificar ainda mais como

Var (X) = E [(X- μ)2]

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= E[X2] – 2μ2 + µ2

= E[X2] – μ2

isso significa que podemos escrever a variância como a diferença da expectativa do quadrado da variável aleatória e do quadrado da expectativa da variável aleatória.

ou seja, Var (X) = E [X2] - (E [X])2

Exemplo:  quando um dado é lançado, calcule a variância.

Alternativa?  aqui sabemos que quando morrermos as probabilidades de cada rosto serão

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

portanto, para calcular a variância, encontraremos a expectativa da variável aleatória e seu quadrado como

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

e acabamos de obter a variância como

Var (X) = E [X2] - (E [X])2

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

Um dos identidade importante para variância is

  1. Para as constantes arbitrárias a e b, temos

Var (aX + b) = a2 Var (X)

Isso podemos mostrar facilmente como

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= E [a2(X - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 Var (X)

Variável aleatória de Bernoulli

      Um matemático suíço James Bernoulli definiu o Variável aleatória Bernoulli como uma variável aleatória tendo sucesso ou fracasso como apenas dois resultados para o experimento aleatório.

ou seja, quando o resultado é sucesso X = 1

Quando o resultado é o fracasso X = 0

Portanto, a função de massa de probabilidade para a variável aleatória de Bernoulli é

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p é a probabilidade de fracasso.

Aqui podemos tomar 1-p = q também onde q é a probabilidade de falha.

Como este tipo de variável aleatória é obviamente discreto, este é um tipo de variável aleatória discreta.

Exemplo: Jogar uma moeda.

Variável Aleatória Binomial

Se para um experimento aleatório que está tendo apenas o resultado como sucesso ou fracasso tomarmos n tentativas, então cada vez obteremos sucesso ou fracasso, então a variável aleatória X que representa o resultado para tal experimento aleatório n tentativa é conhecida como Variável aleatória binomial.

                Em outras palavras, se p é a função de massa de probabilidade para o sucesso na única tentativa de Bernoulli e q = 1-p é a probabilidade de falha, então a probabilidade de acontecer o evento 'x ou i' vezes em n tentativas será

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Exemplo: Se jogarmos duas moedas seis vezes e obter cara é um sucesso e as ocorrências restantes são falhas, então sua probabilidade será

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da mesma forma, podemos calcular para qualquer experiência desse tipo.

A Variável aleatória binomial está tendo o nome binômio porque representa a expansão de

Test
Se colocarmos n = 1, isso se tornaria a variável aleatória de Bernoulli.

Exemplo: Se cinco moedas fossem lançadas e o resultado fosse obtido independentemente, então qual seria a probabilidade do número de caras ocorrer.

Aqui, se tomarmos a variável aleatória X como o número de caras, então ela se tornaria a variável aleatória binomial com n = 5 e probabilidade de sucesso como ½

Então, seguindo a função de massa de probabilidade para a variável aleatória binomial, obteremos

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Exemplo:

Em uma determinada empresa, a probabilidade de defeito é de 0.01 da produção. A empresa fabrica e vende o produto em embalagens de 10 e oferece aos seus clientes a garantia de devolução do dinheiro de que no máximo 1 em cada 10 produtos está com defeito, portanto, que proporção da embalagem de produtos vendidos a empresa deve substituir.

Aqui, se X é a variável aleatória que representa os produtos defeituosos, então é do tipo binomial com n = 10 ep = 0.01, então a probabilidade de que o pacote retorne é

CodeCogsEqn 14

Exemplo: (chuck-a-lucky / wheel of fortune) Em um jogo de fortuna específico no hotel, um jogador aposta em qualquer um dos números de 1 a 6, três dados são lançados e se o número aparecer aposta pelo jogador uma, duas ou três vezes o jogador que muitas unidades significa se aparecer uma vez então 1 unidade se em dois dados então 2 unidades e se em três dados então 3 unidades, verifique com a ajuda da probabilidade se o jogo é justo para o jogador ou não.

Se assumirmos que não haverá meios injustos com os dados e técnicas de contra, então, assumindo o resultado dos dados independentemente, a probabilidade de sucesso para cada dado é de 1/6 e o ​​fracasso será

 1-1 / 6, então este passa a ser o exemplo de variável aleatória binomial com n = 3

então, primeiro vamos calcular as probabilidades de vitória atribuindo x conforme os jogadores ganham

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Agora para calcular se o jogo é justo para o jogador ou não vamos calcular a expectativa da variável aleatória

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Isso significa que a probabilidade de perder o jogo para o jogador quando ele joga 216 vezes é de 17.

Conclusão:

   Neste artigo discutimos algumas das propriedades básicas de uma variável aleatória discreta, função de massa de probabilidade e variância. Além disso, vimos alguns tipos de variáveis ​​aleatórias discretas. Antes de iniciarmos o variável aleatória contínua tentamos cobrir todos os tipos e propriedades de variáveis ​​​​aleatórias discretas. Se você quiser ler mais, siga:

Esboços de probabilidade e estatísticas de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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