Propriedades de permutação e combinação
Ao discutir permutação e combinação, pois estamos lidando com seleção e arranjo com ou sem considerações de ordem, dependendo da situação, existem diferentes tipos e propriedades para o permutação e combinação, essas diferenças entre permutações e combinações explicaremos aqui com exemplos justificados.
permutações sem repetição
Esta é a permutação normal que organiza n objetos tomados r de cada vez, ou seja, nPr
n Pr= n! / (nr)!
número de ordens de n objetos diferentes tomados todos de uma vez n Pn = n!
Além disso, temos
nP0 = n! / n! = 1
nPr = N.n-1Po 1
0! = 1
1 / (- r)! = 0 ou (-r)! = ∞
permutações com repetição
Número de permutações (arranjos) para itens diferentes, tomados r de cada vez, onde cada item pode acontecer uma, duas, três vezes, ........ r-vezes mais em qualquer arranjo = Número de maneiras de preencher r áreas onde cada o item pode ser preenchido com qualquer um dos n itens.
O número de permutações = o número de formas de preenchimento r lugares = (n)r
O número de pedidos que podem ser organizados usando n objetos dos quais p são semelhantes (e de um tipo) q são semelhantes (e de outro tipo), r são semelhantes (e de outro tipo) e o resto são distintos é nPr = n! / (p! q! r!)
Exemplo:
De quantas maneiras 5 maçãs podem ser distribuídas entre quatro meninos, quando cada menino pode pegar uma ou mais maçãs.
Alternativa? Este é o exemplo de permutação com repetição, pois sabemos que para tais casos temos
O número de permutações = o número de formas de preenchimento r lugares = nr
O número de maneiras necessárias são 45 = 10, já que cada maçã pode ser distribuída de 4 maneiras.
Exemplo: Encontre o número de palavras que podem ser organizadas com as letras da palavra MATEMÁTICA reagrupando-as.
Alternativa? Aqui podemos observar que existem 2 M's, 2 A's e 2T's este é o exemplo de permutação com repetição
= n! / (p! q! r!)
O número de maneiras necessárias são = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600
Exemplo: Quantas maneiras em que o número de caudas é igual ao número de caras se seis moedas idênticas são dispostas em uma linha.
Alternativa? Aqui podemos observar que
Nº de cabeças = 3
Nº de caudas = 3
E como as moedas são idênticas, este é o exemplo de permutação com repetição = n! / (P! Q! R!)
Número de maneiras necessárias = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20
Permutação circular:
Na permutação circular, o mais importante é que a ordem do objeto é o respeito aos outros.
Assim, na permutação circular, ajustamos a posição de um objeto e organizamos os outros objetos em todas as direções.
A permutação circular é dividida em duas maneiras:
(i) Permutação circular onde as configurações no sentido horário e anti-horário sugerem permutação diferente, por exemplo, Disposições para sentar as pessoas à volta da mesa.
(ii) Permutação circular onde as configurações no sentido horário e anti-horário são exibidas mesma permutação, por exemplo, organizar certas contas para criar um colar.
Arranjo no sentido horário e anti-horário
Se a ordem e o movimento anti-horário e horário forem não diferente por exemplo, arranjo de contas no colar, arranjo de flores em guirlandas, etc., então o número de permutações circulares de n itens distintos é (n-1)! / 2
- O número de permutação circular para n itens diferentes, tomados r de cada vez, quando as ordens para o sentido horário e o anti-horário são consideradas como diferente by nPr /r
- O número de permutação circular para n itens diferentes, tomados r de cada vez, quando as ordens no sentido horário e anti-horário são não diferente da nPr / 2r
- O número de permutações circulares de n objetos diferentes é (n-1)!
- O número de maneiras pelas quais n meninos diferentes podem sentar-se em volta de uma mesa circular é (n-1)!
- O número de maneiras pelas quais n gemas diferentes podem ser configuradas para formar um colar, é (n-1)! / 2
Exemplo:
De quantas maneiras cinco chaves podem ser colocadas no anel
Alternativa?
Uma vez que os sentidos horário e anti-horário são os mesmos no caso do anel.
Se a sequência e o movimento anti-horário e horário forem não diferente então o número de permutações circulares de n itens distintos são
= (n-1)! / 2
Número de maneiras necessárias = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12
Exemplo:
Qual seria o número de arranjos, se onze membros de um comitê se sentassem em uma mesa redonda de forma que o presidente e o secretário sempre se sentassem juntos.
Alternativa?
Por propriedade fundamental de permutação circular
A contagem de permutações circulares de n coisas diferentes são (n-1)!
Uma vez que duas posições são fixas, temos
Número de maneiras necessárias (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760
Exemplo: Qual seria o número de maneiras pelas quais 6 homens e 5 mulheres podem comer em uma mesa redonda se duas mulheres não podem sentar-se juntas
Alternativa? Por propriedade fundamental de permutação circular.
A contagem de permutações circulares de n coisas diferentes são (n-1)!
Número de maneiras pelas quais 6 homens podem ser dispostos em uma mesa redonda = (6 - 1)! = 5!
Agora as mulheres podem ser organizadas em 6! vias e número total de vias = 6! × 5!
Combinações sem repetição
Esta é a combinação usual que é “O número de combinações (seleções ou grupos) que podem ser formadas a partir de n objetos diferentes tomados de uma vez é nCr = n! / (nr)! r!
tb nCr =nCrr
n Pr / r! = n! / (nr)! =nCr
Exemplo: Encontre a quantidade de opções para preencher 12 vagas caso haja 25 candidatos e cinco deles sejam da categoria prevista, desde que 3 vagas sejam reservadas para os candidatos do SC, enquanto as demais são abertas a todos.
Alternativa? Uma vez que 3 cargos vagos foram preenchidos por 5 candidatos em 5 C3 maneiras (ou seja, 5 ESCOLHA 3) e agora os candidatos restantes são 22 e as cadeiras restantes são 9, então seria 22C9 (22 ESCOLHER 9) A seleção pode ser feita em 5 C3 X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
5 C3 X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200
Portanto, a seleção pode ser feita de 4974200 formas.
Exemplo: São 10 candidatos e três vagas na eleição. de quantas maneiras um eleitor pode votar?
Alternativa? Como há apenas 3 vagas para 10 candidatos, este é o problema de 10 ESCOLHER 1, 10 ESCOLHER 2 e 10 ESCOLHER 3 Exemplos,
Um eleitor pode votar em 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.
Então, de 175 maneiras, o eleitor pode votar.
Exemplo:Há 9 cadeiras em uma sala para 4 pessoas, uma das quais é um hóspede de assento único com uma cadeira específica. De quantas maneiras eles podem se sentar?
Alternativa? Uma vez que 3 cadeiras podem ser selecionadas em 8C3 e então 3 pessoas podem ser organizadas em 3! maneiras.
3 pessoas devem estar sentadas em 8 cadeiras 8C3 (ou seja, 8 CHOOSE 3) arranjo
=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!
= 56X6 = 336
Eles podem se sentar de 336 maneiras.
Exemplo: Para cinco homens e 4 mulheres, será formado um grupo de 6. De quantas maneiras isso pode ser feito para que o grupo tenha mais homens.
Solução: Aqui o problema inclui diferentes combinações como 5 ESCOLHA 5, 5 ESCOLHA 4, 5 ESCOLHA 3 para homens e para mulheres inclui 4 ESCOLHA 1, 4 ESCOLHA 2 e 4 ESCOLHA 3 conforme indicado a seguir
1 mulher e 5 homens =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4
2 mulheres e 4 homens =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30
3 mulheres e 3 homens =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40
Portanto, formas totais = 4 + 30 + 40 = 74.
Exemplo: O número de maneiras pelas quais 12 meninos podem viajar em três carros, de modo que 4 meninos em cada carro, supondo que três meninos em particular não irão no mesmo carro.
Alternativa? Primeiro, omita três meninos em particular, os 9 meninos restantes podem ser 3 em cada carro. Isso pode ser feito em 9 CHOOSE 3, ou seja, 9C3 maneiras,
Os três meninos específicos podem ser colocados de três maneiras, um em cada carro. Portanto, o número total de maneiras é = 3X9C3.
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
portanto, de 252 maneiras eles podem ser colocados.
Exemplo: De quantas maneiras 2 bolas verdes e 2 pretas saíram de um saco contendo 7 bolas verdes e 8 pretas?
Alternativa? Aqui o saco contém 7 verdes que temos que escolher 2, então é 7 ESCOLHER 2 problema e 8 bolas pretas que temos que escolher 2, então é 8 ESCOLHA 2 problema.
Daí o número necessário = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588
então, de 588 maneiras, podemos selecionar 2 verdes e 2 pretos dessa bolsa.
Exemplo: Doze caracteres diferentes de palavras em inglês são fornecidos. A partir dessas letras, 2 nomes alfabéticos são formados. Quantas palavras podem ser criadas quando pelo menos uma letra é repetida.
Alternativa? aqui temos que escolher palavras de 2 letras de 12 letras, então é o problema de 12 ESCOLHER 2.
Nº de palavras de 2 letras em que as letras foram recorrentes em algum momento = 122
Mas não. de palavras em ter duas letras diferentes de 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66
Número necessário de palavras = 122-66 = 144-66 = 78.
Exemplo: Existem 12 pontos no plano onde seis são colineares, então quantas linhas podem ser desenhadas unindo esses pontos.
Alternativa? Para 12 pontos em um plano formar uma linha, exigimos 2 pontos iguais para seis pontos colineares, então este é o problema 12 CHOOSE 2 e 6 CHOOSE 2.
O número de linhas é = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52
Assim, em 52 maneiras, as linhas podem ser desenhadas.
Exemplo: Encontre o número de maneiras pelas quais um gabinete de 6 membros pode ser montado a partir de 8 cavalheiros e 4 senhoras, de modo que o gabinete consista de pelo menos 3 senhoras.
Alternativa? Para formar o comitê, podemos escolher entre 3 homens e mulheres cada e 2 homens 4 mulheres então o problema inclui 8 ESCOLHER 3, 4 ESCOLHER 3, 8 ESCOLHER 2 e 4 ESCOLHER 4.
Dois tipos de gabinete podem ser formados
(i) Ter 3 homens e 3 mulheres
(ii) Ter 2 homens e 4 mulheres
Possível não. de maneiras = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Portanto, de 252 maneiras, podemos formar esse gabinete.
Estes são alguns exemplos onde podemos comparar a situação de nPr vs nCr no caso de permutação, a forma como as coisas são organizadas é importante. No entanto, em Combination, a ordem não significa nada.
Conclusão
Uma breve descrição da Permutação e combinação quando repetida e não repetida com a fórmula básica e resultados importantes são fornecidos na forma de exemplos reais, nesta série de artigos discutiremos detalhadamente os vários resultados e fórmulas com exemplos relevantes, caso você queira continuar lendo:
ESBOÇO DE TEORIA E PROBLEMAS DA MATEMÁTICA DISCRETA DE SCHAUM
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
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Eu sou DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Concluí meu doutorado. em Matemática e atuando como professor assistente em Matemática. Possui 12 anos de experiência em docência. Possuindo vasto conhecimento em Matemática Pura, precisamente em Álgebra. Ter a imensa capacidade de projetar e resolver problemas. Capaz de motivar candidatos para melhorar seu desempenho.
Adoro contribuir com Lambdageeks para tornar a matemática simples, interessante e autoexplicativa para iniciantes e também para especialistas.