A probabilidade condicional: 7 fatos interessantes para saber

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Probabilidade Condicional

Condicional teoria da probabilidade sair do conceito de assumir um risco enorme. há muitos problemas hoje em dia que perseguem o jogo de azar, como jogar moedas, jogar dados e jogar cartas. 

A teoria da probabilidade condicional é aplicada em muitos domínios diferentes e a flexibilidade de Probabilidade Condicional fornece ferramentas para quase tantas necessidades diferentes. teoria da probabilidade e amostras relacionadas ao estudo da probabilidade de ocorrência de eventos.

Considere que X e Y são dois eventos de um experimento incidental. Posteriormente, a probabilidade do acontecimento de X na circunstância de Y já ter acontecido com P (Y) ≠ 0, é conhecida como probabilidade condicional e é denotada por P (X / Y).

Portanto, P (X / Y) = A probabilidade de acontecer X, desde que Y já tenha acontecido.

P(X ⋂ Y)/P(Y) = n(X ⋂ S)/n (S )

Da mesma forma, P (Y / X) = A probabilidade de ocorrência de Y, pois X já aconteceu.

P(X ⋂ Y)/P(X) = n(X ⋂ S)/n (S )

Em resumo, para alguns casos, P (X / Y) é usado para especificar a probabilidade de ocorrência de X quando Y ocorre. Da mesma forma, P (Y / X) é usado para especificar a probabilidade de Y acontecer enquanto X acontecer.

O que é o teorema da multiplicação na probabilidade?

Se X e Y forem eventos autossuficientes (independentes) de um experimento arbitrário, então

P(X ⋂ Y) = P(X). P(X/Y), se P(X) ≠ 0

P(X ⋂ Y) = P(Y). P(Y/X), se P(Y) ≠ 0

O que são teoremas de multiplicação para eventos independentes? 

If X e Y são eventos autossuficientes (independentes) conectados a um experimento arbitrário, então P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

ou seja, a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é igual à multiplicação de suas probabilidades. Usando o teorema da multiplicação, temos P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)

 Como X e Y são eventos independentes, portanto P (Y / X) = P (Y)

Implica, P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

Embora os eventos sejam mutuamente exclusivos: 

Se X e Y são eventos mutuamente exclusivos, então ⇒ n (X ∩ Y) = 0, P (X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

Para quaisquer três eventos X, Y, Z que são mutuamente exclusivos, 

P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Embora os eventos sejam independentes: 

Se X e Y são eventos irrestritos (ou independentes), então

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(S)

Sejam X e Y dois eventos conectados a um experimento arbitrário (ou aleatório), então

CódigoCogsEqn 1 2
CódigoCogsEqn 2 1

Se Y⊂ X, então

CodeCogsEqn 4

(b) P(Y) ≤ P(X)

Da mesma forma, se X⊂ Y, então

CodeCogsEqn 6

(b) P(X) ≤ P(Y)

Probabilidade de ocorrência de nem X nem Y é 

CodeCogsEqn 8

Exemplo: Se for de um baralho de cartas, uma única carta é retirada. Qual é a chance possível de que seja uma espada ou um rei?

solução:

P (A) = P (uma carta de espadas) = ​​13/52

P (B) = P (uma carta rei) = 4/52

P (uma carta de espadas ou rei) = P (A ou B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Exemplo: Alguém é conhecido por acertar o alvo com 3 de 4 chances, enquanto outra pessoa é conhecida por acertar o alvo com 2 de 3 chances. Descubra se é provável que o alvo seja atingido quando ambas as pessoas estão tentando.

solução:

 probabilidade de acerto do alvo pela primeira pessoa = P (A) = 3/4

probabilidade de alvo atingido por segunda pessoa = P (B) = 2/3

Os dois eventos não são mutuamente exclusivos, uma vez que ambas as pessoas atingem o mesmo alvo = P (A ou B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Exemplo: If  A  e B são dois eventos tais que P (A) = 0.4, P (A + B) = 0.7 e P (AB) = 0.2 então P (B)?

solução: Uma vez que temos P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Exemplo: Uma carta é selecionada arbitrariamente de um baralho de cartas. Qual é a possibilidade de a carta ser uma carta de cor vermelha ou uma rainha.

Alternativa? A probabilidade necessária é

P (Vermelho + Rainha) -P (Vermelho ⋂ Rainha)

= P (vermelho) + P (rainha) -P (vermelho ⋂ rainha)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Exemplo: Se a probabilidade de X falhar no teste é 0.3 e a probabilidade de Y é 0.2, então encontre a probabilidade de X ou Y falhar no teste?

Alternativa? Aqui P (X) = 0.3, P (Y) = 0.2

Agora P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)

Uma vez que estes são eventos independentes, então

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Assim, a probabilidade necessária é 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

Exemplo: As chances de reprovação em Física são de 20% e a possibilidade de reprovação em Matemática são de 10%. Quais são as possibilidades de reprovação em pelo menos uma matéria?

Alternativa? Seja P (A) = 20/100 = 1/5, P (B) = 10/100 = 1/10

Uma vez que os eventos são independentes e temos que encontrar 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Portanto, a chance de reprovação em um assunto é (14/50) X 100 = 28%

Exemplo: A probabilidade de três alunos resolverem uma questão é de 1 / 2,1 / 4 e 1/6, respectivamente. Qual será a chance possível de responder à pergunta?

Alternativa?

(i) Esta questão também pode ser resolvida por um aluno

(ii) Esta questão pode ser respondida por dois alunos simultaneamente.

(iii) Esta questão pode ser respondida por três alunos todos juntos.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Exemplo: Uma variável aleatória X tem a distribuição de probabilidade

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
Probabilidade condicional: Exemplo

Para os eventos E = {X é o número primo} e F = {X <4}, encontre a probabilidade de P (E ∪ F).

Alternativa?

E = {X é um número primo}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F = {X <4}, P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50

e P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Exemplo: Três moedas são lançadas. Se uma delas aparecer como cauda, ​​qual seria a chance possível de que todas as três moedas apareçam como cauda?

Alternativa? Considerar E é o evento onde todas as três moedas aparecem cauda e F é o evento onde uma moeda aparece cauda. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

e E = {TTT}

Probabilidade necessária = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7

Probabilidade total e regra de Baye

A lei da probabilidade total:

Para o espaço amostral S e n eventos mutuamente exclusivos e exaustivos E1 E2 … .En relacionado com um experimento aleatório. Se X for um evento específico que ocorre com os eventos E1 ou E2 ou ou En, Em seguida 

Regra de Baye: 

Considerar S ser um espaço amostral e E1E2,… ..En be n eventos incongruentes (ou mutuamente exclusivos), tais que

gif

e P(Ei) > 0 para i = 1,2,…,n

Podemos pensar em Eié como os fatores que levam ao resultado de um experimento. As probabilidades P(Ei), i = 1, 2, ... .., n são chamados conhecidos como probabilidades anteriores (ou anteriores). Se a avaliação resultar em um resultado do evento X, onde P(X)> 0. Então temos que perceber a possibilidade de que a percepção do evento X foi devido a causar Ei, isto é, procuramos a probabilidade condicional P (Ei/ X). Essas probabilidades são conhecidas como probabilidades posteriores, dadas pela regra de Baye como

CodeCogsEqn 11

Exemplo: Existem 3 caixas que são conhecidas por conterem 2 bolas de gude azuis e 3 verdes; 4 berlindes azuis e 1 verde e 3 berlindes azuis e 7 verdes, respectivamente. Uma bola de gude é tirada aleatoriamente de uma das caixas e é considerada uma bola verde. Então, qual é a probabilidade de que ele tenha sido retirado da caixa que contém a maioria das bolinhas verdes.

Alternativa? Considere os seguintes eventos:

A -> mármore desenhado é verde;

E1 -> Caixa 1 escolhida;

E2 Caixa 2 é escolhida

E3 A caixa 3 é escolhida.

EDUCAÇAO FISICA1) = P (E2) = P (E3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5

Então

P (A / E2) = 1/5, P (A / E3) = 7/10

Probabilidade necessária = P (E3/UMA)

EDUCAÇAO FISICA3)P(A/E3)/EDUCAÇAO FISICA1)P(A/E1)+P(E2)P(A/E2)+P(E3)P(A/E3) = 7/15

Exemplo: Em um teste de admissão, existem questões de múltipla escolha. Existem quatro respostas corretas prováveis ​​para cada pergunta, das quais uma está certa. A chance possível de um aluno perceber a resposta certa a uma determinada pergunta é de 90%. Se ele obtiver a resposta certa a uma pergunta específica, qual é a chance provável de que ele esteja prevendo.

Alternativa? Definimos os seguintes eventos:

A1 : Ele sabe a resposta.

A2 : Ele pode não saber a resposta.

E: Ele está ciente da resposta certa.

P (A1) = 9/10, P (A2) =1-9/10=1/10, P(E/A1) = 1,

ERVILHA2) = 1/4

uLx44GwAKqC5FgaL3pOZbwf6PytzEThkEgj1wp1QOhW7NHbiboSvyGjKjfVSpcNTxeR nEuIiYOwQhKhUHvnIXZ7i58YjsAvAKyB7DJAQLePSkZLYRoLLbIIZd3JaC Ewhor dc Então, a probabilidade esperada

Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional

Exemplo: Balde A contém 4 bolas de gude amarelas e 3 pretas e balde B contém 4 berlindes pretos e 3 amarelos. Um balde é pego aleatoriamente e uma bola de gude é desenhada e notada que é amarela. Qual é a probabilidade de que venha Bucket B.

Alternativa? É baseado no teorema de Baye. 

Probabilidade de balde escolhido A , P (A) = 1/2

Probabilidade de balde escolhido B , P (B) = 1/2

Probabilidade de mármore amarelo retirado do balde A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Probabilidade de mármore amarelo retirado do balde B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Probabilidade total de bolinhas amarelas = (2/7) + (3/14) = 1/2

Probabilidade de fato de que Yellow Marbles é retirado de Bucket B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Conclusão:

 Neste artigo discutimos principalmente sobre a Probabilidade Condicional e teorema de Bayes com os exemplos destes a consequência direta e dependente do julgamento que discutimos até agora nos artigos consecutivos relacionamos probabilidade a variável aleatória e alguns termos familiares relacionados à teoria da probabilidade discutiremos, se você quiser ler mais, passe por:

Contornos de probabilidade e estatística de Schaum e Wpágina ikipedia.

Para um estudo mais aprofundado, consulte nosso página de matemática.